Номер 63, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

63. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{5}{\sqrt{15}} $;

б) $ \frac{2}{\sqrt{2}+1} $;

в) $ \frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5}{\sqrt{15}}$, необходимо домножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{15}$. Это позволит убрать квадратный корень из знаменателя, так как $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.

$\frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{5 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{15}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5:

$\frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Таким образом, мы получили дробь с рациональным знаменателем 3.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{3}$

б) В дроби $\frac{2}{\sqrt{2}+1}$ знаменатель является суммой. В этом случае нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{2}+1$ является $\sqrt{2}-1$. При умножении знаменателя на сопряженное ему выражение используется формула разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\frac{2}{\sqrt{2}+1} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1) \cdot (\sqrt{2}-1)} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{1} = 2(\sqrt{2}-1)$

Знаменатель стал равен 1, то есть иррациональность устранена.

Ответ: $2(\sqrt{2}-1)$

в) Знаменатель дроби $\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ является разностью двух иррациональных чисел. Как и в предыдущем случае, используем домножение на сопряженное выражение. Сопряженным к $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ является $\sqrt{5}+\sqrt{3}$.

$\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = 3(\sqrt{5}+\sqrt{3})$

Иррациональность в знаменателе устранена.

Ответ: $3(\sqrt{5}+\sqrt{3})$