Номер 61, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

61. Найдите значение выражения:

а) $(\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2$;

б) $(-\sqrt{5})^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2$.

а) $(\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2$

Для решения этого выражения необходимо последовательно возвести в квадрат каждое слагаемое, а затем сложить полученные результаты. Воспользуемся основными свойствами степеней и корней:

1. Свойство квадратного корня: $(\sqrt{a})^2 = a$.
2. Свойство возведения в степень произведения: $(ab)^2 = a^2b^2$.

1. Возведем в квадрат первое слагаемое:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

2. Возведем в квадрат второе слагаемое:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

3. Сложим полученные значения:

$3 + 18 = 21$

Таким образом, всё выражение равно:

$(\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 3 + 18 = 21$

Ответ: 21.

б) $(-\sqrt{5})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{4})^2$

Для решения этого выражения необходимо возвести в квадрат уменьшаемое и вычитаемое, а затем найти их разность. Воспользуемся следующими свойствами:

1. Возведение в квадрат отрицательного числа: $(-a)^2 = a^2$.
2. Свойство квадратного корня: $(\sqrt{a})^2 = a$.
3. Свойство возведения в степень дроби: $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$.

1. Возведем в квадрат уменьшаемое:

$(-\sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

2. Возведем в квадрат вычитаемое:

$(\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{4^2} = \frac{3}{16}$

3. Найдем разность полученных значений:

$5 - \frac{3}{16}$

Для вычитания представим 5 в виде дроби со знаменателем 16:

$5 = \frac{5 \cdot 16}{16} = \frac{80}{16}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{80}{16} - \frac{3}{16} = \frac{80 - 3}{16} = \frac{77}{16}$

4. Преобразуем неправильную дробь $\frac{77}{16}$ в смешанное число, выделив целую часть:

$77 \div 16 = 4$ (остаток $77 - 16 \cdot 4 = 77 - 64 = 13$)

Следовательно, $\frac{77}{16} = 4\frac{13}{16}$.

Ответ: 4$\frac{13}{16}$.