Номер 62, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

62. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $3\sqrt{8} - \sqrt{32} + 2\sqrt{50};$

б) $(5\sqrt{6} - \sqrt{24})\sqrt{6};$

в) $(3\sqrt{\frac{2}{7}} - 4\sqrt{\frac{7}{8}}): \sqrt{3.5};$

г) $(\sqrt{3} + 6)^2;$

д) $(\sqrt{7} + 2)^2 - 2\sqrt{28};$

е) $(\sqrt{13} + 1)(1 - \sqrt{13}).$

Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо упростить каждое выражение. Рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где m - целое число, а n - натуральное. Иррациональное число так представить нельзя (например, $\sqrt{2}$).

а) $3\sqrt{8} - \sqrt{32} + 2\sqrt{50}$

Упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня:

• $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
• $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$3(2\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} + 2(5\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 10\sqrt{2}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(6 - 4 + 10)\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

Число $12\sqrt{2}$ является произведением рационального числа (12) и иррационального числа ($\sqrt{2}$), следовательно, значение всего выражения является иррациональным числом.

Ответ: $12\sqrt{2}$, иррациональное число.

б) $(5\sqrt{6} - \sqrt{24})\sqrt{6}$

Сначала упростим $\sqrt{24}$ в скобках:

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Подставим это в выражение:

$(5\sqrt{6} - 2\sqrt{6})\sqrt{6} = (3\sqrt{6})\sqrt{6}$

Теперь выполним умножение:

$3 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 3 \cdot 6 = 18$

Число 18 является целым, а значит, рациональным числом.

Ответ: 18, рациональное число.

в) $(3\sqrt{\frac{2}{7}} - 4\sqrt{\frac{7}{8}}) : \sqrt{3.5}$

Упростим каждый член выражения:

• $3\sqrt{\frac{2}{7}} = 3\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{7}}{7} = \frac{3\sqrt{14}}{7}$
• $4\sqrt{\frac{7}{8}} = 4\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4 \cdot 2}} = 4\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{7}\sqrt{2}}{2} = \sqrt{14}$
• $\sqrt{3.5} = \sqrt{\frac{35}{10}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$

Подставим в выражение и выполним действия в скобках:

$(\frac{3\sqrt{14}}{7} - \sqrt{14}) : \sqrt{\frac{7}{2}} = (\frac{3\sqrt{14}}{7} - \frac{7\sqrt{14}}{7}) : \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = (-\frac{4\sqrt{14}}{7}) : \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$

Выполним деление (умножение на обратную дробь):

$-\frac{4\sqrt{14}}{7} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = -\frac{4\sqrt{28}}{7\sqrt{7}} = -\frac{4\sqrt{4 \cdot 7}}{7\sqrt{7}} = -\frac{4 \cdot 2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}} = -\frac{8\sqrt{7}}{7\sqrt{7}} = -\frac{8}{7}$

Число $-\frac{8}{7}$ является рациональным. Представим его в виде смешанной дроби: $-\frac{8}{7} = -1\frac{1}{7}$.

Ответ: $-\frac{8}{7} = -1\frac{1}{7}$, рациональное число.

г) $(\sqrt{3} + 6)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 6 + 6^2 = 3 + 12\sqrt{3} + 36$

Сложим рациональные части:

$39 + 12\sqrt{3}$

Результат является суммой рационального числа (39) и иррационального ($12\sqrt{3}$), поэтому он иррационален.

Ответ: $39 + 12\sqrt{3}$, иррациональное число.

д) $(\sqrt{7} + 2)^2 - 2\sqrt{28}$

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(\sqrt{7} + 2)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = 11 + 4\sqrt{7}$

Теперь упростим второй член:

$2\sqrt{28} = 2\sqrt{4 \cdot 7} = 2 \cdot 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$

Подставим все в исходное выражение:

$(11 + 4\sqrt{7}) - 4\sqrt{7} = 11 + 4\sqrt{7} - 4\sqrt{7} = 11$

Число 11 является целым, а значит, рациональным.

Ответ: 11, рациональное число.

е) $(\sqrt{13} + 1)(1 - \sqrt{13})$

Переставим слагаемые во второй скобке и вынесем минус, чтобы использовать формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{13} + 1)(1 - \sqrt{13}) = (\sqrt{13} + 1)(-( \sqrt{13} - 1)) = -(\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 1)$

Применим формулу:

$-((\sqrt{13})^2 - 1^2) = -(13 - 1) = -12$

Число -12 является целым, а значит, рациональным.

Ответ: -12, рациональное число.