Номер 65, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

65. Значения каких выражений являются рациональными числами:

a) $(\sqrt{5} - 1) \cdot (\sqrt{5} + 1);

б) $\sqrt{(\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{11}+\sqrt{2})};

в) $(\sqrt{24}-\sqrt{6})^2?

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\sqrt{5}-1} \cdot \sqrt{\sqrt{5}+1}$, воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$):
$\sqrt{\sqrt{5}-1} \cdot \sqrt{\sqrt{5}+1} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$
Выражение в скобках под корнем является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Применим ее:
$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$
Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:
$\sqrt{4} = 2$
Число 2 является целым, а следовательно, и рациональным числом.
Ответ: 2

б) Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{11}+\sqrt{2})}$.
Выражение под корнем, $(\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{11}+\sqrt{2})$, соответствует формуле разности квадратов:
$(\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{11}+\sqrt{2}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{2})^2 = 11 - 2 = 9$
Подставим результат под знак корня:
$\sqrt{9} = 3$
Число 3 является целым, а следовательно, и рациональным числом.
Ответ: 3

в) Рассмотрим выражение $(\sqrt{24}-\sqrt{6})^2$.
Сначала упростим член $\sqrt{24}$, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$
Теперь подставим упрощенное значение в исходное выражение:
$(\sqrt{24}-\sqrt{6})^2 = (2\sqrt{6} - \sqrt{6})^2$
Выполним вычитание в скобках:
$(2\sqrt{6} - \sqrt{6}) = \sqrt{6}$
Теперь возведем результат в квадрат:
$(\sqrt{6})^2 = 6$
Число 6 является целым, а следовательно, и рациональным числом.
Ответ: 6

Поскольку значения всех трех выражений (2, 3 и 6) являются целыми числами, они также являются и рациональными числами. Таким образом, значения всех представленных выражений являются рациональными числами.