Номер 54, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

54. Первой бригаде, чтобы выполнить всю работу, нужно $10$ дней, второй — на $5$ дней больше, а третьей — в $1,2$ раза больше, чем первой. Найдите, за какое время могут выполнить всю работу три бригады, работая совместно.

Для решения задачи сначала найдем время, которое требуется каждой бригаде для выполнения всей работы по отдельности. Затем определим их производительность (часть работы, выполняемую за один день), после чего найдем их общую производительность и итоговое время совместной работы.

1. Расчет времени выполнения работы для каждой бригады:

• Первая бригада выполняет всю работу за $10$ дней.
• Второй бригаде требуется на 5 дней больше, чем первой:
  $T_2 = 10 + 5 = 15$ дней.
• Третьей бригаде требуется в 1,2 раза больше времени, чем первой:
  $T_3 = 10 \times 1,2 = 12$ дней.

2. Определение производительности каждой бригады:

Производительность — это доля работы, выполняемая за один день. Если принять весь объем работы за 1, то производительность каждой бригады будет:

• Производительность первой бригады: $P_1 = \frac{1}{10}$ работы в день.
• Производительность второй бригады: $P_2 = \frac{1}{15}$ работы в день.
• Производительность третьей бригады: $P_3 = \frac{1}{12}$ работы в день.

3. Вычисление общей производительности при совместной работе:

Общая производительность равна сумме производительностей всех трех бригад:

$P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 10, 15 и 12 равно 60.

$P_{общ} = \frac{1 \cdot 6}{60} + \frac{1 \cdot 4}{60} + \frac{1 \cdot 5}{60} = \frac{6 + 4 + 5}{60} = \frac{15}{60}$

Сократим полученную дробь:

$P_{общ} = \frac{1}{4}$ работы в день.

Это означает, что, работая вместе, три бригады выполняют $\frac{1}{4}$ всей работы за один день.

4. Расчет общего времени выполнения работы:

Чтобы найти общее время, нужно весь объем работы (1) разделить на общую производительность ($\frac{1}{4}$):

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ дня.

Найдите, за какое время могут выполнить всю работу три бригады, работая совместно. Ответ: 4 дня.