Номер 131, страница 35 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$k = 3$

$\langle v \rangle = 6,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

$S_1 = S_2 = \frac{S}{2}$

Перевод в систему СИ:
$\langle v \rangle = 6,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 6,0 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1,67 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$v_1$

Решение:

Пусть $S$ - вся дистанция. Тогда первая и вторая половины дистанции равны $S_1 = S_2 = S/2$.
Пусть $v_1$ - скорость на первой половине дистанции, а $v_2$ - на второй.
Согласно условию задачи, скорость на первой половине дистанции в $k=3$ раза больше, чем на второй:
$v_1 = k \cdot v_2 = 3v_2$.
Отсюда можно выразить скорость на втором участке: $v_2 = \frac{v_1}{k}$.

Средняя скорость на всей дистанции вычисляется по формуле:
$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$
где $S_{общ}$ - общий путь, а $t_{общ}$ - общее время движения.

Общий путь $S_{общ} = S_1 + S_2 = S$.
Общее время $t_{общ}$ складывается из времени прохождения каждого участка: $t_{общ} = t_1 + t_2$.
Время прохождения первого участка: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.
Время прохождения второго участка: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$.

Подставим выражения для времени в формулу для общего времени:
$t_{общ} = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)$.

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу для средней скорости:
$\langle v \rangle = \frac{S}{\frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$.

Подставим в эту формулу соотношение $v_2 = \frac{v_1}{k}$:
$\langle v \rangle = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_1/k}} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{k}{v_1}} = \frac{2}{\frac{1+k}{v_1}} = \frac{2v_1}{1+k}$.

Из полученной формулы выразим искомую скорость $v_1$:
$v_1 = \frac{\langle v \rangle (1+k)}{2}$.

Подставим числовые значения: $\langle v \rangle = 6,0$ км/ч и $k=3$.
$v_1 = \frac{6,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot (1+3)}{2} = \frac{6,0 \cdot 4}{2} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{24,0}{2} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 12,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

Ответ: средняя скорость движения лыжника на первой половине дистанции составляет $12,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.