Номер 132, страница 35 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$k = 2$

$\langle v \rangle = 64 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Найти:

$v_1$ - ?

$v_2$ - ?

Решение:

Пусть весь путь, пройденный автобусом, равен $S$. По условию, путь разбит на две равные половины, то есть $S_1 = S_2 = S/2$.

Обозначим скорость автобуса на первой половине пути как $v_1$, а на второй — как $v_2$.

Из условия задачи известно, что скорость на первой половине пути в $k$ раз больше, чем на второй:

$v_1 = k \cdot v_2$

Средняя скорость движения $\langle v \rangle$ на всем пути вычисляется как отношение всего пройденного пути $S$ ко всему времени движения $t$:

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{t_1 + t_2}$

где $t_1$ и $t_2$ — время, затраченное на прохождение первой и второй половин пути соответственно.

Время на каждом участке можно найти по формуле $t = S/v$:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1}$

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2}$

Подставим эти выражения в формулу для средней скорости:

$\langle v \rangle = \frac{S}{\frac{S/2}{v_1} + \frac{S/2}{v_2}} = \frac{S}{\frac{S}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)}$

Сократив $S$, получим формулу для средней скорости при прохождении двух равных участков пути (среднее гармоническое):

$\langle v \rangle = \frac{1}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

Теперь в эту формулу подставим соотношение скоростей $v_1 = k \cdot v_2$:

$\langle v \rangle = \frac{2(k \cdot v_2)v_2}{k \cdot v_2 + v_2} = \frac{2k v_2^2}{v_2(k+1)} = \frac{2k v_2}{k+1}$

Из полученного выражения выразим скорость на втором участке пути $v_2$:

$v_2 = \frac{\langle v \rangle (k+1)}{2k}$

Подставим числовые значения из условия: $k=2$ и $\langle v \rangle = 64 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

$v_2 = \frac{64 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot (2 + 1)}{2 \cdot 2} = \frac{64 \cdot 3}{4} = 16 \cdot 3 = 48 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Теперь, зная $v_2$, найдем скорость на первом участке пути $v_1$:

$v_1 = k \cdot v_2 = 2 \cdot 48 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 96 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ:

Скорость движения автобуса на первой половине пути равна $96 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, а на второй половине пути — $48 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.