Номер 134, страница 35 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость теплохода от пристани А до пристани B, $v_1 = 21,0 \frac{км}{ч}$
Скорость теплохода от пристани B до пристани A, $v_2 = 15,0 \frac{км}{ч}$

Переведем данные в систему СИ:
$v_1 = 21,0 \frac{км}{ч} = 21,0 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = \frac{21,0}{3,6} \frac{м}{с} \approx 5,83 \frac{м}{с}$
$v_2 = 15,0 \frac{км}{ч} = 15,0 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = \frac{15,0}{3,6} \frac{м}{с} \approx 4,17 \frac{м}{с}$

Найти:

Среднюю скорость пути теплохода, $v_{ср}$

Решение:

Средняя скорость пути $v_{ср}$ определяется как отношение всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему времени движения $t_{общ}$.

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть расстояние между пристанями А и B равно $L$. Теплоход проходит этот путь дважды: туда и обратно. Следовательно, общий пройденный путь равен:

$S_{общ} = L + L = 2L$

Время, затраченное на путь от А до B (по течению), равно:

$t_1 = \frac{L}{v_1}$

Время, затраченное на обратный путь от B до А (против течения), равно:

$t_2 = \frac{L}{v_2}$

Общее время движения равно сумме времени движения туда и обратно:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{L}{v_1} + \frac{L}{v_2}$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{2L}{\frac{L}{v_1} + \frac{L}{v_2}}$

Вынесем $L$ в знаменателе за скобки и сократим. Это показывает, что средняя скорость не зависит от расстояния между пристанями.

$v_{ср} = \frac{2L}{L(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Эта формула представляет собой среднее гармоническое двух скоростей. Подставим числовые значения. Удобнее производить расчеты в км/ч, так как результат также требуется в км/ч, и это позволяет избежать ошибок округления.

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 21,0 \frac{км}{ч} \cdot 15,0 \frac{км}{ч}}{21,0 \frac{км}{ч} + 15,0 \frac{км}{ч}} = \frac{630}{36,0} \frac{км}{ч} = 17,5 \frac{км}{ч}$

Ответ: $17,5 \frac{км}{ч}$.