Номер 136, страница 36 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_1 = 10,0 \frac{м}{с}$
$v_2 = 8,0 \frac{м}{с}$
$v_3 = 12,0 \frac{м}{с}$
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_{ср}$ - среднюю скорость пути вездехода.

Решение:

Средняя скорость $v_{ср}$ вычисляется как отношение всего пройденного пути $S$ ко всему времени движения $t$: $v_{ср} = \frac{S}{t}$

Весь путь можно разделить на три участка с соответствующими расстояниями $S_1, S_2, S_3$ и временами движения $t_1, t_2, t_3$. Тогда: $S = S_1 + S_2 + S_3$ $t = t_1 + t_2 + t_3$

1. Первый участок пути.
Вездеход проехал половину всего пути $S$. Следовательно, расстояние первого участка: $S_1 = \frac{S}{2}$

Время, затраченное на преодоление этого участка со скоростью $v_1$: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

2. Второй и третий участки пути.
Оставшаяся часть пути составляет: $S_{ост} = S - S_1 = S - \frac{S}{2} = \frac{S}{2}$

Это расстояние было пройдено за оставшееся время $t_{ост}$. По условию, половину этого времени вездеход двигался со скоростью $v_2$, а вторую половину — со скоростью $v_3$. Это означает, что время движения на втором и третьем участках одинаково: $t_2 = t_3 = \frac{t_{ост}}{2}$

Найдем расстояния, пройденные на втором и третьем участках: $S_2 = v_2 t_2$ $S_3 = v_3 t_3 = v_3 t_2$

Сумма этих расстояний равна оставшемуся пути $S_{ост}$: $S_{ост} = S_2 + S_3 = v_2 t_2 + v_3 t_2 = (v_2 + v_3) t_2$

Так как $S_{ост} = \frac{S}{2}$, мы можем выразить время $t_2$ через $S$ и скорости: $\frac{S}{2} = (v_2 + v_3) t_2 \implies t_2 = \frac{S}{2(v_2 + v_3)}$

3. Вычисление средней скорости.
Полное время движения $t$ равно сумме времен на всех участках: $t = t_1 + t_2 + t_3 = t_1 + 2t_2$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$: $t = \frac{S}{2v_1} + 2 \left( \frac{S}{2(v_2 + v_3)} \right) = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{v_2 + v_3}$

Вынесем $S$ за скобки: $t = S \left( \frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_2 + v_3} \right)$

Теперь подставим полученное выражение для времени $t$ в формулу средней скорости: $v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{S}{S \left( \frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_2 + v_3} \right)} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_2 + v_3}}$

Упростим выражение, приведя знаменатель к общему виду: $v_{ср} = \frac{1}{\frac{v_2 + v_3 + 2v_1}{2v_1(v_2 + v_3)}} = \frac{2v_1(v_2 + v_3)}{2v_1 + v_2 + v_3}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $v_{ср} = \frac{2 \cdot 10,0 \frac{м}{с} \cdot (8,0 \frac{м}{с} + 12,0 \frac{м}{с})}{2 \cdot 10,0 \frac{м}{с} + 8,0 \frac{м}{с} + 12,0 \frac{м}{с}} = \frac{20,0 \cdot 20,0}{20,0 + 20,0} \frac{м}{с} = \frac{400}{40,0} \frac{м}{с} = 10,0 \frac{м}{с}$

Ответ: средняя скорость пути вездехода равна $10,0 \frac{м}{с}$.