Номер 143, страница 37 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$l_1 = 3$ км

$v_1 = 12 \frac{км}{ч}$

$v_2 = 16 \frac{км}{ч}$

$\langle v \rangle = 14 \frac{км}{ч}$

Движения на двух участках пути взаимно перпендикулярны.

Перевод всех данных в систему СИ:

$l_1 = 3 \text{ км} = 3 \cdot 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$

$v_1 = 12 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 12 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{12000}{3600} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{10}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_2 = 16 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 16 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{16000}{3600} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{40}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$\langle v \rangle = 14 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 14 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{14000}{3600} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{35}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Модуль перемещения $S$

Решение:

Средняя скорость пути $\langle v \rangle$ определяется как отношение всего пройденного пути $L$ ко всему времени движения $T$.

$\langle v \rangle = \frac{L}{T}$

Весь путь $L$ равен сумме путей на двух участках: $L = l_1 + l_2$.

Все время движения $T$ равно сумме времен на двух участках: $T = t_1 + t_2$.

Поскольку движение на каждом участке было равномерным, время движения на каждом из них можно найти по формуле $t = \frac{l}{v}$:

$t_1 = \frac{l_1}{v_1}$

$t_2 = \frac{l_2}{v_2}$

Подставим выражения для $L$ и $T$ в формулу средней скорости:

$\langle v \rangle = \frac{l_1 + l_2}{t_1 + t_2} = \frac{l_1 + l_2}{\frac{l_1}{v_1} + \frac{l_2}{v_2}}$

Из этой формулы необходимо выразить неизвестный путь $l_2$.

$\langle v \rangle \left( \frac{l_1}{v_1} + \frac{l_2}{v_2} \right) = l_1 + l_2$

$\frac{\langle v \rangle l_1}{v_1} + \frac{\langle v \rangle l_2}{v_2} = l_1 + l_2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $l_2$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$\frac{\langle v \rangle l_2}{v_2} - l_2 = l_1 - \frac{\langle v \rangle l_1}{v_1}$

$l_2 \left( \frac{\langle v \rangle}{v_2} - 1 \right) = l_1 \left( 1 - \frac{\langle v \rangle}{v_1} \right)$

$l_2 \left( \frac{\langle v \rangle - v_2}{v_2} \right) = l_1 \left( \frac{v_1 - \langle v \rangle}{v_1} \right)$

Выразим $l_2$:

$l_2 = l_1 \frac{v_2}{v_1} \frac{v_1 - \langle v \rangle}{\langle v \rangle - v_2} = l_1 \frac{v_2}{v_1} \frac{-(\langle v \rangle - v_1)}{-(\ v_2 - \langle v \rangle)} = l_1 \frac{v_2}{v_1} \frac{\langle v \rangle - v_1}{v_2 - \langle v \rangle}$

Подставим числовые значения. Для удобства можно провести расчеты в исходных единицах (км и км/ч), так как соотношения скоростей будут безразмерными.

$l_2 = 3 \text{ км} \cdot \frac{16 \text{ км/ч}}{12 \text{ км/ч}} \cdot \frac{14 \text{ км/ч} - 12 \text{ км/ч}}{16 \text{ км/ч} - 14 \text{ км/ч}} = 3 \cdot \frac{16}{12} \cdot \frac{2}{2} = 3 \cdot \frac{4}{3} \cdot 1 = 4 \text{ км}$

Итак, второй участок пути равен $l_2 = 4$ км.

Модуль перемещения $S$ — это длина вектора, соединяющего начальную и конечную точки движения. Так как велосипедист двигался по двум взаимно перпендикулярным направлениям, пути $l_1$ и $l_2$ можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника. Модуль перемещения $S$ в этом случае будет равен длине гипотенузы.

По теореме Пифагора:

$S = \sqrt{l_1^2 + l_2^2}$

Подставим найденные значения длин участков пути:

$S = \sqrt{(3 \text{ км})^2 + (4 \text{ км})^2} = \sqrt{9 \text{ км}^2 + 16 \text{ км}^2} = \sqrt{25 \text{ км}^2} = 5 \text{ км}$

В системе СИ: $S = 5 \text{ км} = 5000 \text{ м}$.

Ответ: модуль перемещения велосипедиста равен 5 км.