Номер 145, страница 38 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано

Скорость на первой трети пути $v_1 = 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Скорость на остальной части пути $v_2 = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

$v_{\text{ср1}}$ - средняя скорость на первой половине пути

$v_{\text{ср2}}$ - средняя скорость на второй половине пути

$v_{\text{ср.t/2}}$ - средняя скорость за первую половину всего времени движения

Решение

Обозначим весь путь, который прошел лесник, через $S$.

Определите среднюю скорость движения лесника на первой и второй половинах пути.

Средняя скорость определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения: $v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$.

1. Средняя скорость на первой половине пути ($v_{\text{ср1}}$)

Первая половина пути составляет $S/2$. Эта часть пути состоит из двух участков, так как скорость меняется на отметке $S/3$.

Первый участок первой половины пути: расстояние $S_a = S/3$, скорость $v_1$. Время движения на этом участке: $t_a = \frac{S_a}{v_1} = \frac{S/3}{v_1} = \frac{S}{3v_1}$.

Второй участок первой половины пути: расстояние $S_b = S/2 - S/3 = S/6$, скорость $v_2$. Время движения на этом участке: $t_b = \frac{S_b}{v_2} = \frac{S/6}{v_2} = \frac{S}{6v_2}$.

Общее время движения на первой половине пути: $t_1 = t_a + t_b = \frac{S}{3v_1} + \frac{S}{6v_2}$.

Средняя скорость на первой половине пути: $v_{\text{ср1}} = \frac{S/2}{t_1} = \frac{S/2}{\frac{S}{3v_1} + \frac{S}{6v_2}} = \frac{1/2}{\frac{1}{3v_1} + \frac{1}{6v_2}} = \frac{1/2}{\frac{2v_2 + v_1}{6v_1v_2}} = \frac{3v_1v_2}{v_1 + 2v_2}$.

Подставим числовые значения: $v_{\text{ср1}} = \frac{3 \cdot 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} + 2 \cdot 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{6,0}{4,0} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 1,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

2. Средняя скорость на второй половине пути ($v_{\text{ср2}}$)

Вторая половина пути, расстояние $S/2$, начинается после отметки $S/2$. Поскольку смена скорости произошла на отметке $S/3$, вся вторая половина пути пройдена с постоянной скоростью $v_2$.

Следовательно, средняя скорость на второй половине пути равна этой скорости: $v_{\text{ср2}} = v_2 = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ: средняя скорость на первой половине пути составляет $1,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$, а на второй половине пути - $1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Определите среднюю скорость пути за первую половину всего времени движения лесника.

Сначала найдем общее время движения $t_{\text{общ}}$.

Время на первой трети пути: $t_A = \frac{S/3}{v_1} = \frac{S}{3 \cdot 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{S}{6}$ с.

Время на оставшихся двух третях пути: $t_B = \frac{2S/3}{v_2} = \frac{2S}{3 \cdot 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{2S}{3}$ с.

Общее время движения: $t_{\text{общ}} = t_A + t_B = \frac{S}{6} + \frac{2S}{3} = \frac{S + 4S}{6} = \frac{5S}{6}$ с.

Первая половина времени движения составляет $t_{1/2} = \frac{t_{\text{общ}}}{2} = \frac{5S/6}{2} = \frac{5S}{12}$ с.

Сравним первую половину времени $t_{1/2}$ со временем движения на первом участке $t_A$.

$t_{1/2} = \frac{5S}{12}$ с, а $t_A = \frac{S}{6} = \frac{2S}{12}$ с.

Так как $t_{1/2} > t_A$, за первую половину общего времени лесник успел пройти весь первый участок и двигался некоторое время по второму участку.

Путь, пройденный за первую половину времени, равен сумме путей, пройденных на каждом участке в течение этого времени.

Путь, пройденный со скоростью $v_1$ (за время $t_A$): $S_A = v_1 \cdot t_A = 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \frac{S}{6} \text{ с} = \frac{S}{3}$ м.

Оставшееся время движения в первой половине общего времени: $t' = t_{1/2} - t_A = \frac{5S}{12} - \frac{S}{6} = \frac{3S}{12} = \frac{S}{4}$ с. В течение этого времени лесник двигался со скоростью $v_2$.

Путь, пройденный со скоростью $v_2$ за это время: $S_B' = v_2 \cdot t' = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \frac{S}{4} \text{ с} = \frac{S}{4}$ м.

Общий путь, пройденный за первую половину времени: $S_{1/2} = S_A + S_B' = \frac{S}{3} + \frac{S}{4} = \frac{4S + 3S}{12} = \frac{7S}{12}$ м.

Средняя скорость за первую половину времени: $v_{\text{ср.t/2}} = \frac{S_{1/2}}{t_{1/2}} = \frac{7S/12}{5S/12} = \frac{7}{5} = 1,4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ: средняя скорость за первую половину всего времени движения составляет $1,4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.