Номер 146, страница 38 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость на первой половине пути $v_1 = 60 \text{ км/ч}$

Время стоянки $t = 1,0 \text{ ч}$

Скорость на второй половине пути $v_2 = 90 \text{ км/ч}$

Средняя скорость на всем пути $\langle v \rangle = 60 \text{ км/ч}$

Все величины даны в согласованных единицах (км, ч, км/ч), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Общее время в пути $T_{общ}$ - ?

Решение:

Пусть $S$ — это весь путь, пройденный автомобилем. Путь состоит из трех участков: движение на первой половине пути, стоянка и движение на второй половине пути.

Первая половина пути равна $S_1 = S/2$. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.

Вторая (оставшаяся) половина пути равна $S_2 = S/2$. Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$.

Время стоянки на станции техобслуживания дано в условии: $t = 1,0 \text{ ч}$.

Общее время, затраченное на весь путь, равно сумме времени движения на двух участках и времени стоянки:

$T_{общ} = t_1 + t + t_2 = \frac{S}{2v_1} + t + \frac{S}{2v_2}$

Средняя скорость по определению — это отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени:

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{S}{T_{общ}}$

Из этой формулы мы можем выразить общий путь $S$ через общее время $T_{общ}$ и среднюю скорость $\langle v \rangle$:

$S = \langle v \rangle \cdot T_{общ}$

Теперь подставим это выражение для $S$ в формулу для общего времени:

$T_{общ} = \frac{\langle v \rangle \cdot T_{общ}}{2v_1} + t + \frac{\langle v \rangle \cdot T_{общ}}{2v_2}$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $T_{общ}$, в левой части уравнения:

$T_{общ} - \frac{\langle v \rangle \cdot T_{общ}}{2v_1} - \frac{\langle v \rangle \cdot T_{общ}}{2v_2} = t$

Вынесем $T_{общ}$ за скобки:

$T_{общ} \left( 1 - \frac{\langle v \rangle}{2v_1} - \frac{\langle v \rangle}{2v_2} \right) = t$

Отсюда находим итоговую формулу для $T_{общ}$:

$T_{общ} = \frac{t}{1 - \frac{\langle v \rangle}{2v_1} - \frac{\langle v \rangle}{2v_2}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$T_{общ} = \frac{1,0 \text{ ч}}{1 - \frac{60 \text{ км/ч}}{2 \cdot 60 \text{ км/ч}} - \frac{60 \text{ км/ч}}{2 \cdot 90 \text{ км/ч}}} = \frac{1,0}{1 - \frac{1}{2} - \frac{60}{180}} = \frac{1,0}{1 - 0,5 - \frac{1}{3}} = \frac{1,0}{0,5 - \frac{1}{3}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю 6:

$T_{общ} = \frac{1,0}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \frac{1,0}{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} = \frac{1,0}{\frac{1}{6}} = 1,0 \cdot 6 = 6,0 \text{ ч}$

Ответ: 6,0 ч.