Номер 144, страница 37 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_1 = 12 \frac{м}{с}$
$\alpha = 60^\circ$
$v_2 = 16 \frac{м}{с}$
$\beta = 150^\circ$
$t_1 = t_2$ (время движения на каждом участке равно половине общего времени)

Найти:

$v_{ср}$

Решение:

Средняя скорость перемещения определяется как отношение вектора полного перемещения ко всему времени движения:

$\vec{v}_{ср} = \frac{\Delta \vec{r}}{t_{общ}}$

Полное перемещение $\Delta \vec{r}$ является векторной суммой перемещений на первом и втором участках:

$\Delta \vec{r} = \Delta \vec{r}_1 + \Delta \vec{r}_2$

Перемещения на каждом участке равны $\Delta \vec{r}_1 = \vec{v}_1 t_1$ и $\Delta \vec{r}_2 = \vec{v}_2 t_2$.

По условию, мотоциклист двигался первую половину времени $t_1$ и вторую половину времени $t_2$, что означает $t_1 = t_2 = \frac{t_{общ}}{2}$. Обозначим это время как $t$. Тогда общее время $t_{общ} = 2t$.

Подставим эти выражения в формулу для средней скорости:

$\vec{v}_{ср} = \frac{\vec{v}_1 t + \vec{v}_2 t}{2t} = \frac{(\vec{v}_1 + \vec{v}_2)t}{2t} = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}$

Таким образом, вектор средней скорости равен полусумме векторов скоростей на каждом из участков. Нам нужно найти модуль этого вектора:

$v_{ср} = |\vec{v}_{ср}| = |\frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}| = \frac{1}{2}|\vec{v}_1 + \vec{v}_2|$

Модуль суммы двух векторов можно найти по теореме косинусов:

$|\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2\cos\theta}$

Здесь $\theta$ — угол между векторами скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Направим ось Ох вдоль шоссе. Тогда вектор $\vec{v}_1$ направлен под углом $\alpha = 60^\circ$ к оси Ох, а вектор $\vec{v}_2$ — под углом $\beta = 150^\circ$.

Угол между векторами равен разности этих углов:

$\theta = \beta - \alpha = 150^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

Так как векторы скоростей перпендикулярны друг другу, $\cos\theta = \cos(90^\circ) = 0$. Формула для модуля суммы векторов упрощается до теоремы Пифагора:

$|\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Подставим числовые значения:

$|\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = \sqrt{(12 \frac{м}{с})^2 + (16 \frac{м}{с})^2} = \sqrt{144 + 256} \frac{м}{с} = \sqrt{400} \frac{м}{с} = 20 \frac{м}{с}$

Теперь найдем модуль средней скорости перемещения:

$v_{ср} = \frac{1}{2} \cdot 20 \frac{м}{с} = 10 \frac{м}{с}$

Ответ: $10 \frac{м}{с}$.