Номер 139, страница 36 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Две лодки проходят один и тот же маршрут.

Скорость на первом этапе: $v_1$.

Скорость на втором этапе: $v_2$.

Первая лодка: первую половину времени $\frac{t_1}{2}$ движется со скоростью $v_1$, вторую половину времени $\frac{t_1}{2}$ — со скоростью $v_2$.

Вторая лодка: первую половину пути $\frac{S}{2}$ движется со скоростью $v_1$, вторую половину пути $\frac{S}{2}$ — со скоростью $v_2$.

Найти:

Какая из лодок пройдет маршрут быстрее, то есть необходимо сравнить общее время движения $t_1$ и $t_2$.

Решение:

Обозначим общую длину маршрута через $S$. Это расстояние одинаково для обеих лодок. Найдем время, которое каждая лодка затратит на прохождение всего маршрута.

1. Расчет времени для лодки, которая одну половину времени движется со скоростью $v_1$, а другую — со скоростью $v_2$.

Пусть общее время движения первой лодки равно $t_1$. По условию, половину этого времени, $\frac{t_1}{2}$, лодка движется со скоростью $v_1$, а вторую половину, $\frac{t_1}{2}$, — со скоростью $v_2$.

Путь, пройденный за первую половину времени: $S_a = v_1 \cdot \frac{t_1}{2}$.

Путь, пройденный за вторую половину времени: $S_b = v_2 \cdot \frac{t_1}{2}$.

Общий путь $S$ равен сумме этих путей: $S = S_a + S_b = v_1 \frac{t_1}{2} + v_2 \frac{t_1}{2} = \frac{t_1(v_1 + v_2)}{2}$.

Выразим отсюда общее время движения первой лодки $t_1$:

$t_1 = \frac{2S}{v_1 + v_2}$

2. Расчет времени для лодки, которая первую половину пути движется со скоростью $v_1$, а вторую — со скоростью $v_2$.

Пусть общее время движения второй лодки равно $t_2$. По условию, первую половину пути, $\frac{S}{2}$, лодка движется со скоростью $v_1$, а вторую половину пути, $\frac{S}{2}$, — со скоростью $v_2$.

Время, затраченное на первую половину пути: $t_a = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.

Время, затраченное на вторую половину пути: $t_b = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$.

Общее время $t_2$ равно сумме этих времен:

$t_2 = t_a + t_b = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = S \left( \frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2} \right) = S \frac{v_1+v_2}{2v_1v_2}$

3. Сравнение времен $t_1$ и $t_2$.

Чтобы определить, какая лодка быстрее, сравним полученные выражения для времен $t_1$ и $t_2$. Для этого найдем их разность $t_2 - t_1$:

$t_2 - t_1 = S \frac{v_1+v_2}{2v_1v_2} - \frac{2S}{v_1 + v_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2v_1v_2(v_1 + v_2)$:

$t_2 - t_1 = \frac{S(v_1+v_2)^2 - S(4v_1v_2)}{2v_1v_2(v_1 + v_2)} = \frac{S(v_1^2 + 2v_1v_2 + v_2^2 - 4v_1v_2)}{2v_1v_2(v_1 + v_2)}$

$t_2 - t_1 = \frac{S(v_1^2 - 2v_1v_2 + v_2^2)}{2v_1v_2(v_1 + v_2)} = \frac{S(v_1 - v_2)^2}{2v_1v_2(v_1 + v_2)}$

Проанализируем полученное выражение. Расстояние $S$ и скорости $v_1, v_2$ являются положительными величинами. Следовательно, знаменатель $2v_1v_2(v_1 + v_2)$ всегда положителен. Числитель $S(v_1 - v_2)^2$ всегда неотрицателен, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Рассмотрим два случая.Если скорости различны ($v_1 \neq v_2$), то $(v_1 - v_2)^2 > 0$, и, следовательно, разность $t_2 - t_1 > 0$, что означает $t_2 > t_1$.Если же скорости равны ($v_1 = v_2$), то $(v_1 - v_2)^2 = 0$, и, следовательно, $t_2 - t_1 = 0$, что означает $t_2 = t_1$.

Таким образом, если скорости $v_1$ и $v_2$ различны, первая лодка пройдет маршрут за меньшее время, то есть быстрее.

Эту же задачу можно решить, сравнив средние скорости. Средняя скорость первой лодки $v_{ср1} = \frac{v_1+v_2}{2}$ (среднее арифметическое), а второй — $v_{ср2} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ (среднее гармоническое). Из неравенства о средних известно, что среднее арифметическое всегда больше или равно среднему гармоническому ($v_{ср1} \ge v_{ср2}$). Так как время движения обратно пропорционально средней скорости ($t=S/v_{ср}$), то отсюда следует, что $t_1 \le t_2$.

Ответ:

Быстрее свой маршрут проплывет лодка, которая одну половину времени движется со скоростью $v_1$, а другую — со скоростью $v_2$. Это справедливо при условии, что скорости $v_1$ и $v_2$ не равны друг другу. Если $v_1 = v_2$, то обе лодки проплывут маршрут за одинаковое время.