Номер 415, страница 92 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса санок: $m$
Угол наклона веревки к горизонту: $\alpha$
Коэффициент трения: $\mu$
Скорость санок: $v = const$ (движение равномерное)

Найти:

Модуль силы натяжения веревки: $T$

Решение:

На санки действуют четыре силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз; сила реакции опоры ($\vec{N}$), направленная вертикально вверх; сила натяжения веревки ($\vec{T}$), направленная под углом $\alpha$ к горизонту; и сила трения скольжения ($\vec{F}_{\text{тр}}$), направленная горизонтально против движения.

Согласно условию, санки движутся равномерно. Это означает, что их ускорение равно нулю ($a = 0$). По первому закону Ньютона, если ускорение тела равно нулю, то векторная сумма всех действующих на него сил также равна нулю: $ \vec{T} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{\text{тр}} = 0 $

Для решения задачи выберем систему координат: ось $Ox$ направим горизонтально по направлению движения, а ось $Oy$ — вертикально вверх. Запишем уравнения равновесия сил в проекциях на эти оси.

Проекция на ось $Ox$: $ T_x - F_{\text{тр}} = 0 $ Горизонтальная составляющая силы натяжения равна $T_x = T \cos\alpha$. Следовательно: $ T \cos\alpha = F_{\text{тр}} \quad (1) $

Проекция на ось $Oy$: $ N + T_y - mg = 0 $ Вертикальная составляющая силы натяжения равна $T_y = T \sin\alpha$. Следовательно: $ N + T \sin\alpha - mg = 0 $ Из этого уравнения выразим силу реакции опоры $N$: $ N = mg - T \sin\alpha \quad (2) $

Сила трения скольжения определяется по формуле: $ F_{\text{тр}} = \mu N \quad (3) $

Теперь выполним подстановку. Подставим выражение для силы реакции опоры (2) в формулу для силы трения (3): $ F_{\text{тр}} = \mu (mg - T \sin\alpha) $

Далее, подставим полученное выражение для $F_{\text{тр}}$ в уравнение для оси $Ox$ (1): $ T \cos\alpha = \mu (mg - T \sin\alpha) $

Осталось решить это уравнение относительно искомой величины $T$. Раскроем скобки: $ T \cos\alpha = \mu mg - \mu T \sin\alpha $

Соберем все слагаемые, содержащие $T$, в левой части уравнения: $ T \cos\alpha + \mu T \sin\alpha = \mu mg $

Вынесем $T$ за скобки: $ T (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg $

Наконец, выразим $T$: $ T = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha} $

Ответ: $T = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$