Номер 417, страница 93 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угол стержня к горизонту $\alpha = 45^\circ$

Коэффициент трения $\mu = 0,20$

Движение в обоих случаях равномерное ($v = \text{const}$)

Найти:

Отношение модулей сил $\frac{F_1}{F_2}$

Решение:

Рассмотрим два случая движения саней. Так как в обоих случаях сани движутся равномерно, то согласно первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к саням, равна нулю. Введем систему координат, направив ось Ox горизонтально по направлению движения, а ось Oy — вертикально вверх. Пусть $m$ — масса саней.

1. Случай, когда человек толкает сани с силой $\vec{F_1}$.

Сила $\vec{F_1}$ направлена вдоль стержня, то есть под углом $\alpha$ к горизонту вниз. Запишем уравнения первого закона Ньютона в проекциях на оси координат:

На ось Ox: $F_1 \cos\alpha - f_{тр1} = 0$

На ось Oy: $N_1 - mg - F_1 \sin\alpha = 0$

Здесь $N_1$ — сила реакции опоры, $f_{тр1}$ — сила трения скольжения. Сила трения связана с силой реакции опоры соотношением $f_{тр1} = \mu N_1$.

Из уравнения для оси Oy находим $N_1 = mg + F_1 \sin\alpha$.

Подставляем $N_1$ в формулу для силы трения: $f_{тр1} = \mu (mg + F_1 \sin\alpha)$.

Теперь подставим полученное выражение для $f_{тр1}$ в уравнение для оси Ox:

$F_1 \cos\alpha = \mu (mg + F_1 \sin\alpha)$

Выразим из этого уравнения $F_1$:

$F_1 \cos\alpha - \mu F_1 \sin\alpha = \mu mg$

$F_1 (\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = \mu mg$

$F_1 = \frac{\mu mg}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}$

2. Случай, когда человек тянет сани с силой $\vec{F_2}$.

Сила $\vec{F_2}$ направлена вдоль стержня, то есть под углом $\alpha$ к горизонту вверх. Уравнения в проекциях на оси:

На ось Ox: $F_2 \cos\alpha - f_{тр2} = 0$

На ось Oy: $N_2 - mg + F_2 \sin\alpha = 0$

Здесь $N_2$ — сила реакции опоры, $f_{тр2} = \mu N_2$.

Из уравнения для оси Oy находим $N_2 = mg - F_2 \sin\alpha$.

Подставляем $N_2$ в формулу для силы трения: $f_{тр2} = \mu (mg - F_2 \sin\alpha)$.

Подставляем $f_{тр2}$ в уравнение для оси Ox:

$F_2 \cos\alpha = \mu (mg - F_2 \sin\alpha)$

Выразим $F_2$:

$F_2 \cos\alpha + \mu F_2 \sin\alpha = \mu mg$

$F_2 (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg$

$F_2 = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$

3. Нахождение отношения $\frac{F_1}{F_2}$.

Разделим выражение для $F_1$ на выражение для $F_2$:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{\mu mg}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}}{\frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}} = \frac{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}$

Чтобы упростить выражение, разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha$:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{1 + \mu \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 - \mu \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{1 + \mu \tan\alpha}{1 - \mu \tan\alpha}$

Подставим заданные значения: $\alpha = 45^\circ$, $\mu = 0,20$. Так как $\tan 45^\circ = 1$, получаем:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{1 + 0,20 \cdot 1}{1 - 0,20 \cdot 1} = \frac{1,2}{0,8} = 1,5$

Ответ: Отношение модулей сил $\frac{F_1}{F_2}$ равно 1,5.