Номер 416, страница 93 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Система "лед с вмерзшим камешком" плавает в сосуде с водой.

Масса льда - $m_л$

Масса камешка - $m_к$

Плотность воды - $\rho_в$

Плотность камешка - $\rho_к$

Подразумевается, что плотность камешка больше плотности воды, а плотность льда меньше плотности воды: $\rho_к > \rho_в$.

Найти:

Изменится ли уровень воды в сосуде, когда лед растает?

Решение:

Рассмотрим два состояния системы: до и после таяния льда.

1. Начальное состояние.

Кусок льда с вмерзшим в него камешком плавает на поверхности воды. Согласно условию плавания тел, выталкивающая сила (сила Архимеда), действующая на тело, равна его силе тяжести.

Суммарная масса тела равна $m = m_л + m_к$.

Сила тяжести, действующая на тело: $P = (m_л + m_к)g$.

Выталкивающая сила $F_А$ равна весу вытесненной воды: $F_А = \rho_в g V_1$, где $V_1$ — это объем погруженной части льда с камешком (т.е. объем вытесненной воды).

Приравниваем силы: $P = F_А$

$(m_л + m_к)g = \rho_в g V_1$

Отсюда мы можем найти объем воды, который вытесняет система в начальном состоянии:

$V_1 = \frac{m_л + m_к}{\rho_в} = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_к}{\rho_в}$

2. Конечное состояние.

Лед полностью растаял, а камешек опустился на дно сосуда.

Лед массой $m_л$ превратился в воду, объем которой составляет $V_в = \frac{m_л}{\rho_в}$. Эта вода добавится к общему объему воды в сосуде.

Камешек, оказавшись на дне, будет вытеснять объем воды, равный его собственному объему $V_к = \frac{m_к}{\rho_к}$.

Таким образом, в конечном состоянии объем, занимаемый в воде растаявшим льдом и камешком, будет равен сумме объема талой воды и объема камешка:

$V_2 = V_в + V_к = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_к}{\rho_к}$

3. Сравнение объемов.

Чтобы определить, как изменится уровень воды, нужно сравнить объем вытесненной воды в начальном состоянии ($V_1$) с общим объемом, который занимают талая вода и камень в конечном состоянии ($V_2$).

$V_1 = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_к}{\rho_в}$

$V_2 = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_к}{\rho_к}$

Сравнивая выражения для $V_1$ и $V_2$, мы видим, что первое слагаемое ($\frac{m_л}{\rho_в}$) у них одинаковое. Различие заключается во втором слагаемом. В первом случае это $\frac{m_к}{\rho_в}$, а во втором — $\frac{m_к}{\rho_к}$.

Поскольку камешек — это твердое тело, плотность которого больше плотности воды, то $\rho_к > \rho_в$.

Если сравнить дроби с одинаковыми числителями, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Следовательно:

$\frac{m_к}{\rho_в} > \frac{m_к}{\rho_к}$

Из этого следует, что $V_1 > V_2$.

Объем воды, вытесняемый системой в начальном состоянии, больше, чем объем, занимаемый талой водой и камнем в конечном состоянии. Это означает, что после таяния льда общий объем воды в сосуде уменьшится.

Ответ: Уровень воды в сосуде понизится.