Номер 427, страница 94 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Соотношение силы тяги и силы тяжести: $F = \frac{F_{тяж}}{2}$
Время действия силы: $t = 2,0 \text{ с}$
Общий путь: $s = 15 \text{ м}$
Начальная скорость: $v_0 = 0 \text{ м/с}$
Конечная скорость: $v_k = 0 \text{ м/с}$

Найти:

Коэффициент трения: $\mu$

Решение:

Движение тела состоит из двух этапов.

1. Этап разгона.

На первом этапе (в течение времени $t$) тело движется под действием горизонтальной силы $F$ и силы трения скольжения $F_{тр}$. Запишем второй закон Ньютона.

Направим ось OX горизонтально, по направлению движения, а ось OY — вертикально вверх.

В проекции на ось OY: $N - F_{тяж} = 0$, где $N$ — сила реакции опоры, а $F_{тяж} = mg$ — сила тяжести. Отсюда $N = mg$.

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N = \mu mg$.

Сила тяги по условию равна $F = \frac{F_{тяж}}{2} = \frac{mg}{2}$.

В проекции на ось OX: $F - F_{тр} = ma_1$, где $a_1$ — ускорение тела на первом этапе.

$\frac{mg}{2} - \mu mg = ma_1$

Сократив массу $m$, найдем ускорение:

$a_1 = g(\frac{1}{2} - \mu)$

За время $t$ тело пройдет путь $s_1$ и достигнет скорости $v_1$:

$s_1 = \frac{a_1 t^2}{2} = \frac{g(\frac{1}{2} - \mu) t^2}{2}$

$v_1 = a_1 t = g(\frac{1}{2} - \mu) t$

2. Этап торможения.

На втором этапе сила $F$ перестает действовать, и тело движется до полной остановки только под действием силы трения. Ускорение на этом этапе (обозначим его $a_2$) будет отрицательным.

Второй закон Ньютона в проекции на ось OX: $-F_{тр} = ma_2$.

$-\mu mg = ma_2$

$a_2 = -\mu g$

Путь $s_2$, пройденный на втором этапе, можно найти по формуле для равнозамедленного движения: $s_2 = \frac{v_k^2 - v_1^2}{2a_2}$.

Начальная скорость для этого этапа — $v_1$, конечная — $v_k = 0$.

$s_2 = \frac{0 - v_1^2}{2(-\mu g)} = \frac{v_1^2}{2\mu g}$

Подставим сюда выражение для $v_1$:

$s_2 = \frac{(g(\frac{1}{2} - \mu)t)^2}{2\mu g} = \frac{g^2(\frac{1}{2} - \mu)^2 t^2}{2\mu g} = \frac{g(\frac{1}{2} - \mu)^2 t^2}{2\mu}$

Объединение этапов.

Общий путь $s$ равен сумме путей на двух этапах: $s = s_1 + s_2$.

$s = \frac{g(\frac{1}{2} - \mu) t^2}{2} + \frac{g(\frac{1}{2} - \mu)^2 t^2}{2\mu}$

Вынесем общий множитель $\frac{g(\frac{1}{2} - \mu) t^2}{2}$ за скобки:

$s = \frac{g(\frac{1}{2} - \mu) t^2}{2} \left( 1 + \frac{\frac{1}{2} - \mu}{\mu} \right)$

Упростим выражение в круглых скобках:

$1 + \frac{0.5 - \mu}{\mu} = \frac{\mu + 0.5 - \mu}{\mu} = \frac{0.5}{\mu}$

Подставим это в формулу для пути:

$s = \frac{g(\frac{1}{2} - \mu) t^2}{2} \cdot \frac{0.5}{\mu} = \frac{g t^2 (0.5 - \mu)}{4\mu}$

Теперь из этого уравнения выразим искомую величину $\mu$:

$4\mu s = g t^2 (0.5 - \mu)$

$4\mu s = 0.5 g t^2 - \mu g t^2$

$4\mu s + \mu g t^2 = 0.5 g t^2$

$\mu (4s + g t^2) = 0.5 g t^2$

$\mu = \frac{0.5 g t^2}{4s + g t^2}$

Подставим числовые значения. Для упрощения расчетов примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

$\mu = \frac{0.5 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (2.0 \text{ с})^2}{4 \cdot 15 \text{ м} + 10 \text{ м/с}^2 \cdot (2.0 \text{ с})^2} = \frac{0.5 \cdot 10 \cdot 4}{60 + 10 \cdot 4} = \frac{20}{60 + 40} = \frac{20}{100} = 0.2$

Ответ: коэффициент трения $\mu = 0.2$.