Номер 1590, страница 291 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$E_{ф} = E_{0}$ (энергия фотона равна энергии покоя электрона)

Постоянная Планка, $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Масса покоя электрона, $m_{e} \approx 9,109 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^{8} \text{ м/с}$

Найти:

Длину волны фотона, $\lambda$

Решение:

Энергия фотона $E_{ф}$ выражается через его длину волны $\lambda$ с помощью формулы Планка:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Энергия покоя электрона $E_{0}$ (или $E_{e}$) определяется знаменитой формулой Эйнштейна для связи массы и энергии:

$E_{0} = m_{e}c^2$

По условию задачи, эти две энергии равны:

$E_{ф} = E_{0}$

Следовательно, мы можем приравнять правые части уравнений:

$\frac{hc}{\lambda} = m_{e}c^2$

Теперь необходимо выразить из этого равенства искомую длину волны $\lambda$. Для этого разделим обе части уравнения на скорость света $c$:

$\frac{h}{\lambda} = m_{e}c$

Отсюда выражаем $\lambda$:

$\lambda = \frac{h}{m_{e}c}$

Эта величина называется комптоновской длиной волны электрона.

Подставим числовые значения физических констант в полученную формулу:

$\lambda = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{9,109 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^{8} \text{ м/с}}$

$\lambda \approx \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{27,327 \cdot 10^{-23}} \text{ м} \approx 0,2425 \cdot 10^{-11} \text{ м}$

Запишем результат в стандартном виде:

$\lambda \approx 2,425 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Также можно выразить ответ в пикометрах ($1 \text{ пм} = 10^{-12} \text{ м}$):

$\lambda \approx 2,43 \text{ пм}$

Ответ: $\lambda \approx 2,43 \cdot 10^{-12}$ м.