Номер 1586, страница 289 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса покоящейся частицы: $M$

Массы частиц после распада: $m_1$, $m_2$

Скорость света в вакууме: $c$

Все величины представлены в системе СИ (массы в кг, скорость в м/с).

Найти:

Полные энергии частиц после распада: $E_1$, $E_2$

Условие самопроизвольного распада.

Решение:

Процесс распада частицы описывается законами сохранения энергии и импульса в релятивистской механике.

Определение энергий $E_1$ и $E_2$ этих частиц

1. Закон сохранения энергии. Полная энергия системы до распада равна полной энергии системы после распада. Поскольку исходная частица массой $M$ покоилась, ее полная энергия равна ее энергии покоя $Mc^2$. После распада полная энергия системы равна сумме полных энергий $E_1$ и $E_2$ образовавшихся частиц.

$Mc^2 = E_1 + E_2$ (1)

2. Закон сохранения импульса. Импульс системы до распада равен нулю, так как частица покоилась. После распада импульс системы равен векторной сумме импульсов $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ новых частиц. Следовательно:

$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 0 \Rightarrow \vec{p}_1 = -\vec{p}_2$

Это означает, что частицы разлетаются в противоположных направлениях, а модули их импульсов равны: $|\vec{p}_1| = |\vec{p}_2| = p$.

3. Релятивистское соотношение между энергией и импульсом. Для каждой из образовавшихся частиц полная энергия $E$, импульс $p$ и масса покоя $m$ связаны соотношением $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$. Запишем его для каждой частицы:

$E_1^2 = (pc)^2 + (m_1c^2)^2$ (2)

$E_2^2 = (pc)^2 + (m_2c^2)^2$ (3)

Приравняем выражения для $(pc)^2$ из уравнений (2) и (3):

$E_1^2 - (m_1c^2)^2 = E_2^2 - (m_2c^2)^2$

Перегруппировав слагаемые и использовав формулу разности квадратов, получим:

$(E_1 - E_2)(E_1 + E_2) = (m_1^2 - m_2^2)c^4$

Подставим в это выражение $E_1 + E_2 = Mc^2$ из уравнения (1):

$(E_1 - E_2)Mc^2 = (m_1^2 - m_2^2)c^4$

Отсюда найдем разность энергий:

$E_1 - E_2 = \frac{(m_1^2 - m_2^2)c^2}{M}$ (4)

Теперь мы имеем систему двух линейных уравнений (1) и (4) для нахождения $E_1$ и $E_2$:

$\begin{cases} E_1 + E_2 = Mc^2 \\ E_1 - E_2 = \frac{(m_1^2 - m_2^2)c^2}{M} \end{cases}$

Сложив эти уравнения, найдем $E_1$:

$2E_1 = Mc^2 + \frac{(m_1^2 - m_2^2)c^2}{M} = \frac{(M^2 + m_1^2 - m_2^2)c^2}{M}$

$E_1 = \frac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2M}c^2$

Вычтя второе уравнение из первого, найдем $E_2$:

$2E_2 = Mc^2 - \frac{(m_1^2 - m_2^2)c^2}{M} = \frac{(M^2 - m_1^2 + m_2^2)c^2}{M}$

$E_2 = \frac{M^2 + m_2^2 - m_1^2}{2M}c^2$

Ответ: Полные энергии частиц после распада равны $E_1 = \frac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2M}c^2$ и $E_2 = \frac{M^2 + m_2^2 - m_1^2}{2M}c^2$.

Условие самопроизвольного распада частицы

Самопроизвольный распад возможен, если он энергетически выгоден. Это означает, что суммарная масса покоя продуктов распада должна быть меньше массы покоя исходной частицы. Разница масс, называемая дефектом масс $\Delta M$, преобразуется в кинетическую энергию продуктов распада.

Суммарная кинетическая энергия продуктов распада $K_{общ}$ равна разности полной энергии системы до распада и суммарной энергии покоя продуктов распада:

$K_{общ} = E_{до} - (m_1c^2 + m_2c^2) = Mc^2 - (m_1 + m_2)c^2$

$K_{общ} = (M - (m_1 + m_2))c^2$

Для того чтобы распад произошел, выделившаяся кинетическая энергия должна быть положительной, $K_{общ} > 0$.

$(M - (m_1 + m_2))c^2 > 0$

Так как $c^2 > 0$, то условие сводится к следующему неравенству:

$M > m_1 + m_2$

Таким образом, для самопроизвольного распада частицы необходимо, чтобы ее масса покоя была строго больше суммы масс покоя частиц-продуктов.

Ответ: Условие самопроизвольного распада: $M > m_1 + m_2$.