Номер 1585, страница 289 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = 0,40c$ - скорость радиоактивного ядра относительно ускорителя.
$v_{12} = 0,75c$ - скорость β-частицы относительно ускорителя.
Скорости ядра и β-частицы сонаправлены.
$c$ - скорость света в вакууме.

Найти:

$v_2$ - модуль скорости β-частицы относительно ядра.

Решение:

Поскольку скорости тел сравнимы со скоростью света, для нахождения относительной скорости необходимо использовать релятивистский закон сложения скоростей.

Свяжем неподвижную систему отсчета К с ускорителем. Тогда скорость ядра в этой системе равна $v_1$.

Свяжем подвижную систему отсчета К' с ядром. Эта система движется относительно системы К со скоростью $v_1$.

Скорость β-частицы в неподвижной системе отсчета К равна $v_{12}$. Нам нужно найти скорость β-частицы в подвижной системе отсчета К', то есть $v_2$.

Релятивистский закон сложения скоростей в данном случае (когда все скорости направлены вдоль одной прямой) имеет вид:

$v_{12} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}$

Из этой формулы необходимо выразить искомую скорость $v_2$:

$v_{12} \cdot \left(1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}\right) = v_1 + v_2$

$v_{12} + \frac{v_{12} v_1 v_2}{c^2} = v_1 + v_2$

$v_{12} - v_1 = v_2 - \frac{v_{12} v_1 v_2}{c^2}$

$v_{12} - v_1 = v_2 \cdot \left(1 - \frac{v_{12} v_1}{c^2}\right)$

$v_2 = \frac{v_{12} - v_1}{1 - \frac{v_{12} v_1}{c^2}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$v_2 = \frac{0,75c - 0,40c}{1 - \frac{0,75c \cdot 0,40c}{c^2}}$

$v_2 = \frac{0,35c}{1 - \frac{0,30c^2}{c^2}}$

$v_2 = \frac{0,35c}{1 - 0,30}$

$v_2 = \frac{0,35c}{0,70}$

$v_2 = 0,5c$

Ответ: модуль скорости частицы относительно ядра равен $0,5c$.