Номер 1579, страница 288 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$E_к = 500 \text{ МэВ}$

Энергия покоя протона $E_0 = m_p c^2 \approx 938 \text{ МэВ}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Элементарный заряд $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

$E_к = 500 \text{ МэВ} = 500 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 500 \cdot 10^6 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 8.01 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

Найти:

$p$

Решение:

Кинетическая энергия протона $E_к = 500 \text{ МэВ}$ сопоставима с его энергией покоя $E_0 \approx 938 \text{ МэВ}$. Это означает, что скорость протона близка к скорости света, и для вычисления его импульса необходимо использовать формулы релятивистской механики.

Связь между полной энергией частицы $E$, ее импульсом $p$ и энергией покоя $E_0$ дается соотношением:

$E^2 = (pc)^2 + E_0^2$

Полная энергия $E$ является суммой кинетической энергии $E_к$ и энергии покоя $E_0$:

$E = E_к + E_0$

Подставим второе выражение в первое и выразим квадрат произведения импульса на скорость света $(pc)^2$:

$(E_к + E_0)^2 = (pc)^2 + E_0^2$

$E_к^2 + 2E_кE_0 + E_0^2 = (pc)^2 + E_0^2$

$(pc)^2 = E_к^2 + 2E_кE_0 = E_к(E_к + 2E_0)$

Отсюда можно выразить импульс $p$:

$p = \frac{\sqrt{E_к(E_к + 2E_0)}}{c}$

Для удобства вычислений сначала найдем величину $pc$ в мегаэлектронвольтах (МэВ), а затем переведем результат в систему СИ.

Подставим числовые значения:

$pc = \sqrt{500 \text{ МэВ} \cdot (500 \text{ МэВ} + 2 \cdot 938 \text{ МэВ})} = \sqrt{500 \cdot (500 + 1876)} \text{ МэВ} = \sqrt{500 \cdot 2376} \text{ МэВ} = \sqrt{1188000} \text{ МэВ} \approx 1090 \text{ МэВ}$

Теперь, зная величину $pc$, найдем модуль импульса $p$ в единицах СИ (кг·м/с):

$p = \frac{1090 \text{ МэВ}}{c} = \frac{1090 \cdot 10^6 \text{ эВ}}{c} = \frac{1090 \cdot 10^6 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}$

$p \approx \frac{1.746 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx 5.82 \cdot 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: $p \approx 5.82 \cdot 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.