Номер 1573, страница 287 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$E_k = E_0$, где $E_k$ - кинетическая энергия частицы, а $E_0$ - её энергия покоя.

$c$ - скорость света в вакууме.

$v$ - скорость частицы.

Найти:

Отношение $\frac{v}{c}$.

Решение:

В релятивистской механике кинетическая энергия $E_k$ частицы определяется как разность между её полной энергией $E$ и энергией покоя $E_0$.

$E_k = E - E_0$

Полная энергия $E$ частицы с массой покоя $m_0$, движущейся со скоростью $v$, выражается формулой:

$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Энергия покоя $E_0$ определяется знаменитой формулой Эйнштейна:

$E_0 = m_0 c^2$

Тогда выражение для кинетической энергии принимает вид:

$E_k = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 c^2 = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right)$

Согласно условию задачи, кинетическая энергия частицы равна её энергии покоя:

$E_k = E_0$

Приравняем соответствующие выражения:

$m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) = m_0 c^2$

Сократим обе части уравнения на $m_0 c^2$ (поскольку масса покоя частицы и скорость света не равны нулю):

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 = 1$

Перенесем единицу из левой части в правую:

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2$

Возьмем обратные величины от обеих частей уравнения:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4}$

Теперь выразим искомое отношение. Сначала найдем $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4}$

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти отношение скоростей $\frac{v}{c}$:

$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Модуль скорости частицы $v$ должен составлять $\frac{\sqrt{3}}{2}$ от модуля скорости света $c$. Численно это примерно $v \approx 0.866c$.