Номер 1570, страница 287 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряд релятивистской частицы: $q$

Скорость частицы: $\vec{v}$

Модуль индукции однородного магнитного поля: $B$

Масса покоя частицы: $m_0$ (введем для решения)

Скорость света в вакууме: $c$

Найти:

Период обращения частицы: $T$

Решение:

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Если скорость частицы $\vec{v}$ перпендикулярна вектору магнитной индукции $\vec{B}$, то эта сила является центростремительной и заставляет частицу двигаться по окружности. Модуль силы Лоренца в этом случае равен:

$F_L = |q|vB$

Эта сила, согласно второму закону Ньютона, сообщает частице центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$, где $R$ – радиус траектории. Для релятивистской частицы второй закон Ньютона записывается с использованием релятивистской массы $m$:

$F_L = m a_c = m \frac{v^2}{R}$

Релятивистская масса $m$ зависит от скорости частицы $v$ и ее массы покоя $m_0$:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Приравняем выражения для силы Лоренца и центростремительной силы:

$|q|vB = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \cdot \frac{v^2}{R}$

Из этого уравнения выразим радиус орбиты $R$:

$R = \frac{m_0 v^2}{|q|vB \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{m_0 v}{|q|B \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Период обращения $T$ — это время, за которое частица совершает один полный оборот. Он равен отношению длины окружности $L=2\pi R$ к скорости движения $v$:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2\pi R}{v}$

Подставим в эту формулу найденное выражение для радиуса $R$:

$T = \frac{2\pi}{v} \cdot \left( \frac{m_0 v}{|q|B \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right) = \frac{2\pi m_0}{|q|B \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Таким образом, период обращения релятивистской частицы зависит от ее скорости, в отличие от нерелятивистского случая.

Ответ: $T = \frac{2\pi m_0}{|q|B \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, где $m_0$ – масса покоя частицы, а $c$ – скорость света в вакууме.