Номер 1563, страница 286 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряд частицы: $e$

Масса покоя частицы: $m$

Начальная кинетическая энергия: $E_к$

Напряженность тормозящего электростатического поля: $\vec{E}$

Направление поля параллельно начальной скорости частицы.

Найти:

Длину пробега $l$.

Решение:

Работа, совершаемая силами электростатического поля над заряженной частицей, равна изменению ее кинетической энергии. Этот закон (теорема о кинетической энергии) справедлив как в классической, так и в релятивистской механике:

$A = \Delta E_к$

где $A$ — работа поля, а $\Delta E_к$ — изменение кинетической энергии частицы.

На частицу с зарядом $e$ в электростатическом поле напряженностью $\vec{E}$ действует сила Кулона $\vec{F} = e\vec{E}$.

По условию, поле является тормозящим, а его напряженность $\vec{E}$ параллельна начальной скорости частицы. Это означает, что сила $\vec{F}$ направлена противоположно вектору скорости и, соответственно, перемещению частицы. Работа этой силы на пути $l$ отрицательна и по модулю равна произведению силы на расстояние:

$A = -F \cdot l = -eEl$

Изменение кинетической энергии частицы равно разности ее конечной и начальной кинетических энергий:

$\Delta E_к = E_{к, \text{конечная}} - E_{к, \text{начальная}}$

Начальная кинетическая энергия частицы по условию равна $E_к$. Длина пробега $l$ — это расстояние, которое частица проходит до полной остановки. В конечной точке траектории ее скорость, а следовательно, и кинетическая энергия равны нулю: $E_{к, \text{конечная}} = 0$.

Таким образом, изменение кинетической энергии составляет:

$\Delta E_к = 0 - E_к = -E_к$

Теперь приравняем работу, совершаемую полем, изменению кинетической энергии:

$-eEl = -E_к$

Из этого уравнения выражаем искомую длину пробега $l$:

$eEl = E_к$

$l = \frac{E_к}{eE}$

Релятивистский характер движения частицы уже учтен в величине ее начальной кинетической энергии $E_к$. Если бы была дана скорость, для нахождения $E_к$ потребовалось бы использовать релятивистскую формулу $E_к = (\gamma - 1)mc^2$, где $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. Однако, поскольку значение $E_к$ задано, конечная формула для длины пробега имеет простой вид.

Ответ:

$l = \frac{E_к}{eE}$