Номер 1561, страница 286 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса покоя частицы: $m$

Заряд частицы: $q$

Разность потенциалов: $U$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Скорость света в вакууме: $c$

Найти:

Модуль скорости частицы: $v$

Решение:

Когда заряженная частица проходит ускоряющую разность потенциалов $U$, электрическое поле совершает над ней работу $A$. Эта работа равна произведению заряда частицы $q$ на разность потенциалов $U$:

$A = qU$

Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершённая над частицей, равна изменению её кинетической энергии. Поскольку начальная скорость частицы равна нулю, её начальная кинетическая энергия также равна нулю. Следовательно, конечная кинетическая энергия $K$ частицы равна работе $A$:

$K = A = qU$

Для релятивистской частицы кинетическая энергия определяется как разность между её полной энергией $E$ и энергией покоя $E_0$:

$K = E - E_0$

Полная энергия $E$ и энергия покоя $E_0$ связаны со скоростью частицы $v$ и её массой покоя $m$ следующими соотношениями:

$E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

$E_0 = mc^2$

Подставляя эти выражения в формулу для кинетической энергии, получаем:

$K = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - mc^2 = mc^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$

Теперь приравняем два выражения для кинетической энергии:

$qU = mc^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$

Наша задача — выразить из этого уравнения скорость $v$. Для этого последовательно преобразуем уравнение:

$\frac{qU}{mc^2} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1$

Перенесём единицу в левую часть:

$1 + \frac{qU}{mc^2} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Перевернём дробь (возьмём обратные величины от обеих частей):

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{1 + \frac{qU}{mc^2}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\left(1 + \frac{qU}{mc^2}\right)^2}$

Выразим член, содержащий скорость:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{qU}{mc^2}\right)^2}$

Наконец, умножим обе части на $c^2$ и извлечём квадратный корень, чтобы найти модуль скорости $v$:

$v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{qU}{mc^2}\right)^2}}$

Ответ: $v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{qU}{mc^2}\right)^2}}$