Номер 1559, страница 286 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$p$ - модуль импульса релятивистской частицы;

$v$ - модуль скорости релятивистской частицы;

$m_0$ - масса покоя частицы;

$c$ - скорость света в вакууме.

Найти:

Зависимость $v(p)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой релятивистского импульса частицы, которая связывает импульс, массу покоя и скорость:

$p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Цель состоит в том, чтобы алгебраически выразить скорость $v$ из этого уравнения.

Сначала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$p^2 = \frac{m_0^2 v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Далее, умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 - \frac{v^2}{c^2})$:

$p^2 \cdot (1 - \frac{v^2}{c^2}) = m_0^2 v^2$

Раскроем скобки в левой части:

$p^2 - \frac{p^2 v^2}{c^2} = m_0^2 v^2$

Теперь сгруппируем все члены, содержащие $v^2$, в одной части уравнения (например, в правой):

$p^2 = m_0^2 v^2 + \frac{p^2 v^2}{c^2}$

Вынесем $v^2$ за скобки в правой части:

$p^2 = v^2 (m_0^2 + \frac{p^2}{c^2})$

Отсюда выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{p^2}{m_0^2 + \frac{p^2}{c^2}}$

Для упрощения выражения в знаменателе приведем его к общему знаменателю $c^2$:

$v^2 = \frac{p^2}{\frac{m_0^2 c^2 + p^2}{c^2}}$

Перевернем дробь в знаменателе:

$v^2 = \frac{p^2 c^2}{m_0^2 c^2 + p^2}$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $v$ - это модуль скорости, мы берем только положительное значение корня:

$v = \sqrt{\frac{p^2 c^2}{p^2 + m_0^2 c^2}}$

$v = \frac{pc}{\sqrt{p^2 + m_0^2 c^2}}$

Это и есть искомое выражение для модуля скорости релятивистской частицы через модуль ее импульса.

Ответ: $v = \frac{pc}{\sqrt{p^2 + m_0^2 c^2}}$