Номер 1553, страница 285 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = v_2 = v = 0.99c$

$\tau = 10 \text{ нс}$

$c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:
$\tau = 10 \cdot 10^{-9} \text{ с}$

Найти:

$l_0$

Решение:

Рассмотрим две системы отсчета. Первая система отсчета $K$ связана с неподвижной мишенью (лабораторная система). Вторая система отсчета $K'$ связана с одной из частиц. Поскольку обе частицы движутся с одинаковой скоростью, в системе $K'$ они покоятся друг относительно друга.

Расстояние $l_0$, которое требуется найти, является собственным расстоянием между частицами. Это расстояние измеряется в системе отсчета $K'$, в которой частицы неподвижны друг относительно друга.

В лабораторной системе отсчета $K$ частицы движутся со скоростью $v$. Когда первая частица попадает в мишень, вторая частица находится на некотором расстоянии $l$ от мишени. Это расстояние вторая частица преодолеет за время $\tau$, данное в условии. Таким образом, расстояние между частицами в лабораторной системе отсчета $K$ равно:

$l = v \cdot \tau$

Это расстояние $l$ является сокращенным (релятивистское сокращение длины) по отношению к собственному расстоянию $l_0$. Связь между ними дается формулой:

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Из этой формулы выразим искомое собственное расстояние $l_0$:

$l_0 = \frac{l}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Подставим в эту формулу выражение для $l$:

$l_0 = \frac{v \cdot \tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления.

$l_0 = \frac{0.99c \cdot 10 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{1 - \frac{(0.99c)^2}{c^2}}} = \frac{0.99 \cdot (3 \cdot 10^8) \cdot 10 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{1 - 0.99^2}}$

$l_0 = \frac{2.97}{\sqrt{1 - 0.9801}} = \frac{2.97}{\sqrt{0.0199}} \approx \frac{2.97}{0.141} \approx 21.06 \text{ м}$

Округлим результат до трёх значащих цифр.

Ответ: $l_0 \approx 21.1 \text{ м}$