Номер 1548, страница 285 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Соотношение длин: $l = \frac{l_0}{2}$
Время в системе отсчета Земли: $τ_0 = 25.0$ сут
Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

$τ_0 = 25.0 \text{ сут} = 25.0 \cdot 24 \text{ ч/сут} \cdot 3600 \text{ с/ч} = 2160000 \text{ с} = 2.16 \cdot 10^6 \text{ с}$

Найти:

$v$ — модуль скорости корабля
$τ$ — промежуток времени на корабле

Решение:

Задача решается с помощью формул специальной теории относительности для сокращения длины и замедления времени.

Сначала определим модуль скорости корабля $v$. Релятивистское сокращение длины описывается формулой:

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $l_0$ — собственная длина линейки (в системе отсчета корабля), $l$ — длина линейки, измеренная с Земли.

По условию $l = \frac{l_0}{2}$. Подставим это соотношение в формулу:

$\frac{l_0}{2} = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Сокращаем $l_0$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{2} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Чтобы найти скорость $v$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

$\frac{1}{4} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

Выразим $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, скорость корабля равна:

$v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0.866c \approx 0.866 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2.6 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.

Теперь определим промежуток времени $τ$, который пройдет на корабле. Для этого используем формулу релятивистского замедления времени:

$τ = τ_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $τ_0$ — время, прошедшее на Земле, а $τ$ — собственное время, прошедшее на корабле.

Из первой части решения мы уже нашли значение для релятивистского фактора: $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}$.

Подставим известные значения в формулу:

$τ = 25.0 \text{ сут} \cdot \frac{1}{2} = 12.5 \text{ сут}$

Ответ:

Модуль скорости, с которой должен двигаться корабль, равен $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с. Промежуток времени, который пройдет на корабле, составляет $τ = 12.5$ сут.