Номер 1544, страница 284 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Модули скоростей двух частиц: $v_1 = v_2 = 0,60c$, где $c$ - скорость света в вакууме.

Найти:

$v_{12}$ - модуль скорости одной частицы относительно другой.

Решение:

Для нахождения относительной скорости в релятивистской механике используется закон преобразования скоростей Лоренца. Если в некоторой (лабораторной) системе отсчета K скорости частиц вдоль одной прямой равны $v_1$ и $v_2$, то скорость первой частицы относительно второй (то есть в системе отсчета K', движущейся вместе со второй частицей) вычисляется по формуле:

$v_{12} = \frac{v_1 - v_2}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}}$

Здесь $v_1$ и $v_2$ — это проекции скоростей на ось, вдоль которой происходит движение. Рассмотрим два случая.

а) в одном направлении

Направим ось Ox в сторону движения обеих частиц. Тогда проекции их скоростей на эту ось будут положительны и равны:

$v_1 = 0,60c$

$v_2 = 0,60c$

Подставим эти значения в формулу для относительной скорости:

$v_{12} = \frac{0,60c - 0,60c}{1 - \frac{0,60c \cdot 0,60c}{c^2}} = \frac{0}{1 - 0,36} = 0$

Ответ: $v_{12} = 0$.

б) в противоположных направлениях

Направим ось Ox в сторону движения первой частицы. Тогда проекции скоростей частиц на эту ось будут:

$v_1 = 0,60c$

$v_2 = -0,60c$ (так как вторая частица движется в противоположном направлении)

Подставим эти значения в формулу для относительной скорости:

$v_{12} = \frac{v_1 - v_2}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}} = \frac{0,60c - (-0,60c)}{1 - \frac{(0,60c)(-0,60c)}{c^2}} = \frac{1,20c}{1 + \frac{0,36c^2}{c^2}} = \frac{1,20c}{1 + 0,36} = \frac{1,20c}{1,36}$

Теперь найдем модуль этой скорости:

$|v_{12}| = \frac{1,20}{1,36}c = \frac{120}{136}c = \frac{15}{17}c \approx 0,882c$

Округляя до двух значащих цифр, как в условии, получаем $0,88c$.

Ответ: $v_{12} \approx 0,88c$.