Номер 1549, страница 285 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Собственная длина стороны квадрата, $l_0 = 100$ мм.

Скорость инерциальной системы отсчета, $v = 0,100c$.

Перевод в СИ:

$l_0 = 100 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$.

Найти:

Периметр квадрата в движущейся системе отсчета, $p$.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, линейные размеры тела сокращаются в направлении движения. Это явление называется лоренцевым сокращением. Длина $l$ объекта в системе отсчета, движущейся относительно него со скоростью $v$, связана с его собственной длиной $l_0$ (длиной в системе покоя) соотношением:

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

В данной задаче инерциальная система отсчета движется вдоль одной из сторон квадрата. Это означает, что две стороны квадрата, параллельные направлению движения, будут казаться короче. Обозначим их новую длину как $l_{\parallel}$. Две другие стороны, перпендикулярные направлению движения, не изменят своей длины. Обозначим их длину как $l_{\perp}$.

Длина сторон, параллельных движению:

$l_{\parallel} = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Длина сторон, перпендикулярных движению:

$l_{\perp} = l_0$

Таким образом, в движущейся системе отсчета квадрат будет восприниматься как прямоугольник со сторонами $l_{\parallel}$ и $l_{\perp}$. Периметр этой фигуры будет равен:

$p = 2(l_{\parallel} + l_{\perp}) = 2(l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} + l_0) = 2l_0(1 + \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}})$

Подставим известные значения:

$l_0 = 100$ мм

$v = 0,100c \implies \frac{v}{c} = 0,100$

$p = 2 \cdot 100 \text{ мм} \cdot (1 + \sqrt{1 - (0,100)^2})$

$p = 200 \cdot (1 + \sqrt{1 - 0,01})$

$p = 200 \cdot (1 + \sqrt{0,99})$

Вычислим значение корня:

$\sqrt{0,99} \approx 0,994987$

Теперь вычислим периметр:

$p \approx 200 \cdot (1 + 0,994987) = 200 \cdot 1,994987 \approx 398,9974 \text{ мм}$

Округляя результат до трех значащих цифр (как в значении скорости), получаем:

$p \approx 399 \text{ мм}$

Ответ: $p \approx 399$ мм.