Номер 1545, страница 284 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Скорость, с которой возрастает расстояние между галактиками в системе отсчета земного наблюдателя: $v' = \frac{2}{3}c$.

Движение галактик симметричное.

Модуль относительной скорости галактик: $v_{12}$.

Свяжем неподвижную систему отсчета (К) с земным наблюдателем. Пусть галактики движутся вдоль оси $Ox$. Поскольку галактики «разбегаются» симметричным образом, их скорости относительно земного наблюдателя равны по модулю и противоположны по направлению. Обозначим скорость первой галактики в проекции на ось $Ox$ как $v_1 = v$, тогда скорость второй галактики будет $v_2 = -v$.

Скорость, с которой возрастает расстояние между ними в системе отсчета К (скорость удаления), определяется как разность их скоростей:

$v' = v_1 - v_2 = v - (-v) = 2v$

Из условия задачи известно, что $v' = \frac{2}{3}c$. Тогда можем найти скорость $v$ каждой галактики относительно Земли:

$2v = \frac{2}{3}c$

$v = \frac{1}{3}c$

Таким образом, в системе отсчета земного наблюдателя скорости галактик равны $v_1 = \frac{1}{3}c$ и $v_2 = -\frac{1}{3}c$.

Для определения относительной скорости $v_{21}$ (скорости второй галактики в системе отсчета, связанной с первой галактикой) воспользуемся релятивистским законом преобразования скоростей:

$v_{21} = \frac{v_2 - v_1}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}}$

Подставим значения $v_1$ и $v_2$:

$v_{21} = \frac{-\frac{1}{3}c - \frac{1}{3}c}{1 - \frac{(\frac{1}{3}c)(-\frac{1}{3}c)}{c^2}} = \frac{-\frac{2}{3}c}{1 - (-\frac{1}{9}\frac{c^2}{c^2})} = \frac{-\frac{2}{3}c}{1 + \frac{1}{9}}$

$v_{21} = \frac{-\frac{2}{3}c}{\frac{10}{9}} = -\frac{2}{3}c \cdot \frac{9}{10} = -\frac{18}{30}c = -\frac{3}{5}c$

Знак минус указывает, что вторая галактика удаляется от первой. Модуль относительной скорости $v_{12}$ равен модулю скорости $v_{21}$:

$v_{12} = |v_{21}| = |-\frac{3}{5}c| = \frac{3}{5}c$

Ответ: модуль относительной скорости галактик равен $\frac{3}{5}c$.