Номер 1550, страница 285 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Собственная длина каждого стержня: $l_0$

Скорость стержней в некоторой инерциальной системе отсчета (ИСО): $v$

Найти:

$l$ — длину одного стержня в системе отсчета, связанной с другим.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся релятивистским законом сложения скоростей и формулой лоренцева сокращения длины. Длина $l$ движущегося объекта связана с его собственной длиной $l_0$ (длиной в покоящейся системе отсчета) соотношением:

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}$

где $u$ — скорость объекта относительно наблюдателя, а $c$ — скорость света в вакууме.

Пусть S — это лабораторная ИСО, а S' — ИСО, связанная с одним из стержней (например, с первым). Нам нужно найти длину второго стержня в системе S'. Для этого сначала определим относительную скорость $u$ второго стержня относительно первого, используя релятивистский закон сложения скоростей:

$u = \frac{v_2 - v_1}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}}$

где $v_1$ — скорость первого стержня в системе S, а $v_2$ — скорость второго стержня в системе S.

а) Стержни движутся в одном направлении

В системе отсчета S скорости обоих стержней одинаковы по величине и направлению. Пусть они движутся вдоль оси X. Тогда $v_1 = v$ и $v_2 = v$. Найдем их относительную скорость:

$u = \frac{v - v}{1 - \frac{v \cdot v}{c^2}} = \frac{0}{1 - v^2/c^2} = 0$

Относительная скорость стержней равна нулю, то есть они покоятся друг относительно друга. В этом случае сокращения длины не происходит. Длина одного стержня, измеренная в системе отсчета другого, равна собственной длине.

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{0^2}{c^2}} = l_0$

Ответ: $l = l_0$.

б) Стержни движутся в противоположные стороны

В системе отсчета S направим ось X в сторону движения первого стержня, тогда его скорость $v_1 = v$. Второй стержень движется в противоположном направлении, поэтому его скорость $v_2 = -v$. Найдем относительную скорость $u$ второго стержня относительно первого:

$u = \frac{v_2 - v_1}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}} = \frac{-v - v}{1 - \frac{v(-v)}{c^2}} = \frac{-2v}{1 + \frac{v^2}{c^2}}$

Модуль относительной скорости равен $|u| = \frac{2v}{1 + v^2/c^2}$. Теперь подставим эту скорость в формулу лоренцева сокращения длины:

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} = l_0 \sqrt{1 - \frac{1}{c^2} \left( \frac{2v}{1 + v^2/c^2} \right)^2} = l_0 \sqrt{1 - \frac{4v^2}{c^2(1 + v^2/c^2)^2}}$

Преобразуем выражение под корнем, приводя к общему знаменателю:

$1 - \frac{4v^2}{c^2(1 + v^2/c^2)^2} = \frac{c^2(1 + v^2/c^2)^2 - 4v^2}{c^2(1 + v^2/c^2)^2} = \frac{c^2(1 + 2v^2/c^2 + v^4/c^4) - 4v^2}{c^2(1 + v^2/c^2)^2}$

$= \frac{c^2 + 2v^2 + v^4/c^2 - 4v^2}{c^2(1 + v^2/c^2)^2} = \frac{c^2 - 2v^2 + v^4/c^2}{c^2(1 + v^2/c^2)^2} = \frac{c^2(1 - 2v^2/c^2 + v^4/c^4)}{c^2(1 + v^2/c^2)^2}$

$= \frac{(1 - v^2/c^2)^2}{(1 + v^2/c^2)^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sqrt{\frac{(1 - v^2/c^2)^2}{(1 + v^2/c^2)^2}} = \frac{1 - v^2/c^2}{1 + v^2/c^2}$

Таким образом, искомая длина стержня равна:

$l = l_0 \frac{1 - v^2/c^2}{1 + v^2/c^2}$

Ответ: $l = l_0 \frac{1 - v^2/c^2}{1 + v^2/c^2}$.