Номер 1556, страница 286 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$τ_0$ - промежуток времени по собственным часам космонавта;
$T$ - возраст внука в момент получения ответной радиограммы на Земле;
$c$ - скорость света в вакууме.

Найти:

$v$ - модуль скорости космического корабля.

Решение:

Рассмотрим задачу в двух инерциальных системах отсчета (ИСО): K, связанной с Землей, и K', связанной с космическим кораблем, который движется со скоростью $v$ относительно Земли. Будем считать, что в начальный момент времени $t = t' = 0$ корабль стартует с Земли ($x = x' = 0$).

Определим ключевые события:

1. Событие 1: Рождение внука и отправка радиограммы с Земли. В ИСО K это происходит в момент времени $t_1$ в точке $x_1 = 0$.

2. Событие 2: Космонавт получает радиограмму. В ИСО K' это происходит в момент времени $t'_2 = τ_0$ в точке $x'_2 = 0$.

3. Событие 3: Космонавт немедленно отправляет ответную радиограмму. Это событие совпадает по времени и месту с событием 2.

4. Событие 4: Ответная радиограмма приходит на Землю. В ИСО K это происходит в момент времени $t_4$ в точке $x_4 = 0$.

Найдем время $t_1$ отправки первого сигнала и время $t_4$ получения второго сигнала в ИСО Земли.

Координаты события 2 в ИСО K связаны с координатами в ИСО K' преобразованиями Лоренца:
Время в ИСО Земли: $t_2 = \frac{t'_2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{τ_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.
Координата в ИСО Земли: $x_2 = v t_2 = \frac{v τ_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

Первый радиосигнал, отправленный в момент $t_1$ из $x_1=0$, проходит расстояние $x_2$ за время $t_2 - t_1$. Поскольку сигнал движется со скоростью света $c$, то $x_2 = c(t_2 - t_1)$. Отсюда можно выразить время отправки $t_1$:
$t_1 = t_2 - \frac{x_2}{c} = t_2 - \frac{v t_2}{c} = t_2 \left(1 - \frac{v}{c}\right)$.
Подставив выражение для $t_2$, получаем:
$t_1 = \frac{τ_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \left(1 - \frac{v}{c}\right) = τ_0 \frac{1 - v/c}{\sqrt{(1 - v/c)(1 + v/c)}} = τ_0 \sqrt{\frac{1 - v/c}{1 + v/c}}$.

Второй радиосигнал отправляется космонавтом из точки $x_2$ в момент времени $t_2$ и приходит на Землю ($x_4=0$) в момент $t_4$. Расстояние, которое он проходит, равно $x_2$, а время в пути составляет $t_4 - t_2$. Таким образом, $x_2 = c(t_4 - t_2)$. Отсюда выразим время прибытия $t_4$:
$t_4 = t_2 + \frac{x_2}{c} = t_2 + \frac{v t_2}{c} = t_2 \left(1 + \frac{v}{c}\right)$.
Подставив выражение для $t_2$, получаем:
$t_4 = \frac{τ_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \left(1 + \frac{v}{c}\right) = τ_0 \frac{1 + v/c}{\sqrt{(1 - v/c)(1 + v/c)}} = τ_0 \sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}}$.

По условию, в момент получения ответной радиограммы $t_4$ возраст внука, родившегося в момент $t_1$, равен $T$. Следовательно:
$T = t_4 - t_1$.
$T = τ_0 \sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}} - τ_0 \sqrt{\frac{1 - v/c}{1 + v/c}} = τ_0 \left(\frac{(1 + v/c) - (1 - v/c)}{\sqrt{(1 - v/c)(1 + v/c)}}\right) = τ_0 \frac{2v/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

Теперь решим это уравнение относительно скорости $v$:
$\frac{T}{τ_0} = \frac{2v/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.
Возведем обе части в квадрат:
$\left(\frac{T}{τ_0}\right)^2 = \frac{4v^2/c^2}{1 - v^2/c^2}$.
$\left(\frac{T}{τ_0}\right)^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = \frac{4v^2}{c^2}$.
$\left(\frac{T}{τ_0}\right)^2 = \frac{4v^2}{c^2} + \left(\frac{T}{τ_0}\right)^2 \frac{v^2}{c^2} = \frac{v^2}{c^2} \left(4 + \left(\frac{T}{τ_0}\right)^2\right)$.
$\frac{v^2}{c^2} = \frac{(T/τ_0)^2}{4 + (T/τ_0)^2} = \frac{T^2/\tau_0^2}{(4\tau_0^2 + T^2)/\tau_0^2} = \frac{T^2}{4\tau_0^2 + T^2}$.
Извлекаем квадратный корень:
$\frac{v}{c} = \frac{T}{\sqrt{4\tau_0^2 + T^2}}$.
$v = c \frac{T}{\sqrt{T^2 + 4\tau_0^2}}$.

Ответ: $v = c \frac{T}{\sqrt{T^2 + 4\tau_0^2}}$