Номер 1562, страница 286 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Однородное электростатическое поле: $\vec{E} = \text{const}$

Масса релятивистской частицы: $m$

Заряд частицы: $q$

Начальный импульс: $\vec{p}_0$

Движение происходит вдоль линий напряженности поля.

Найти:

Модуль скорости частицы как функцию времени: $v(t)$

Решение:

Движение релятивистской частицы описывается вторым законом Ньютона в релятивистской форме:

$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$

где $\vec{p}$ – релятивистский импульс частицы, а $\vec{F}$ – сила, действующая на нее.

В однородном электростатическом поле на частицу с зарядом $q$ действует постоянная сила:

$\vec{F} = q\vec{E}$

Таким образом, уравнение движения имеет вид:

$\frac{d\vec{p}}{dt} = q\vec{E}$

Поскольку сила $q\vec{E}$ постоянна во времени, мы можем проинтегрировать это уравнение по времени от начального момента $t=0$ до произвольного момента $t$:

$\int_{\vec{p}_0}^{\vec{p}(t)} d\vec{p} = \int_{0}^{t} q\vec{E} dt'$

$\vec{p}(t) - \vec{p}_0 = q\vec{E}t$

Отсюда находим зависимость импульса частицы от времени:

$\vec{p}(t) = \vec{p}_0 + q\vec{E}t$

Согласно условию, частица движется вдоль линий напряженности. Это означает, что начальный импульс $\vec{p}_0$ коллинеарен вектору напряженности $\vec{E}$. Следовательно, все движение происходит вдоль одной прямой.

Выберем ось координат $x$ так, чтобы она была направлена вдоль вектора $\vec{E}$. Тогда для проекции импульса на эту ось можем записать скалярное уравнение:

$p_x(t) = p_{0x} + qEt$

Здесь $p_{0x}$ – проекция начального импульса $\vec{p}_0$ на ось $x$, а $E = |\vec{E}|$. Модуль импульса в момент времени $t$ будет равен $p(t) = |p_x(t)| = |p_{0x} + qEt|$.

Модуль релятивистского импульса $p$ связан с модулем скорости $v$ соотношением:

$p = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

где $c$ – скорость света в вакууме. Выразим из этой формулы скорость $v$ через импульс $p$. Возведем обе части в квадрат:

$p^2 = \frac{m^2v^2}{1 - v^2/c^2}$

Преобразуем выражение, чтобы выделить $v^2$:

$p^2(1 - v^2/c^2) = m^2v^2$

$p^2 - \frac{p^2v^2}{c^2} = m^2v^2$

$p^2 = v^2(m^2 + \frac{p^2}{c^2})$

$v^2 = \frac{p^2}{m^2 + p^2/c^2} = \frac{p^2c^2}{m^2c^2 + p^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем зависимость модуля скорости от модуля импульса:

$v = \frac{pc}{\sqrt{m^2c^2 + p^2}}$

Теперь подставим в это выражение найденный ранее модуль импульса $p(t) = |p_{0x} + qEt|$:

$v(t) = \frac{|p_{0x} + qEt|c}{\sqrt{m^2c^2 + (|p_{0x} + qEt|)^2}}$

Учитывая, что $(|A|)^2 = A^2$, окончательно получаем выражение для модуля скорости частицы как функции времени:

$v(t) = \frac{|p_{0x} + qEt|c}{\sqrt{m^2c^2 + (p_{0x} + qEt)^2}}$

где $p_{0x}$ – проекция начального импульса $\vec{p}_0$ на направление поля $\vec{E}$.

Ответ: $v(t) = \frac{|p_{0x} + qEt|c}{\sqrt{m^2c^2 + (p_{0x} + qEt)^2}}$, где $p_{0x}$ – проекция начального импульса на направление электрического поля, $E$ – модуль напряженности поля, $m$ и $q$ – масса и заряд частицы, $c$ – скорость света.