Номер 1564, страница 287 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$E = 3,0 \cdot 10^6$ В/м

$\tau = 1,0$ нс

$q_e = e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл (модуль заряда электрона)

$m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг (масса покоя электрона)

$c \approx 3,0 \cdot 10^8$ м/с (скорость света в вакууме)

В системе СИ:
$\tau = 1,0 \text{ нс} = 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ с}$

Найти:

$v$ - ?

Решение:

На электрон в однородном электростатическом поле действует постоянная сила, модуль которой равен:

$F = eE$

В рамках классической механики (второй закон Ньютона) эта сила сообщает электрону ускорение:

$a = \frac{F}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$

Тогда скорость электрона, начавшего движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), через промежуток времени $\tau$ была бы равна:

$v = a\tau = \frac{eE\tau}{m_e}$

Подставим числовые значения:

$v = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 3,0 \cdot 10^6 \text{ В/м} \cdot 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ с}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \approx 5,3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Полученное значение скорости превышает скорость света в вакууме ($c \approx 3,0 \cdot 10^8$ м/с), что физически невозможно. Следовательно, для решения задачи необходимо использовать законы релятивистской механики.

Релятивистский второй закон Ньютона для постоянной силы гласит, что изменение импульса тела равно импульсу силы:

$p = F\tau$

где $p$ – релятивистский импульс. Подставив выражение для силы, получаем:

$p = eE\tau$

Релятивистский импульс связан со скоростью $v$ соотношением:

$p = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Приравняем два выражения для импульса:

$\frac{m_e v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = eE\tau$

Выразим из этого уравнения скорость $v$. Возведем обе части в квадрат:

$\frac{m_e^2 v^2}{1 - v^2/c^2} = (eE\tau)^2$

$m_e^2 v^2 = (eE\tau)^2 (1 - v^2/c^2)$

$m_e^2 v^2 = (eE\tau)^2 - \frac{(eE\tau)^2 v^2}{c^2}$

$v^2 \left(m_e^2 + \frac{(eE\tau)^2}{c^2}\right) = (eE\tau)^2$

$v^2 = \frac{(eE\tau)^2}{m_e^2 + (eE\tau)^2/c^2}$

Разделим числитель и знаменатель на $m_e^2$:

$v^2 = \frac{(eE\tau/m_e)^2}{1 + (eE\tau/(m_e c))^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем итоговую формулу для скорости:

$v = \frac{eE\tau/m_e}{\sqrt{1 + \left(\frac{eE\tau}{m_e c}\right)^2}}$

Рассчитаем значение импульса $p = eE\tau$:

$p = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 3,0 \cdot 10^6 \text{ В/м} \cdot 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ с} = 4,8 \cdot 10^{-22} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Теперь подставим все значения в формулу для скорости. Проще это сделать, подставив значение $p$:

$v = \frac{p/m_e}{\sqrt{1 + (p/(m_e c))^2}} = \frac{4,8 \cdot 10^{-22} / (9,1 \cdot 10^{-31})}{\sqrt{1 + (4,8 \cdot 10^{-22} / (9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 3,0 \cdot 10^8))^2}} \approx \frac{5,27 \cdot 10^8}{\sqrt{1 + (1,76)^2}} \text{ м/с}$

$v \approx \frac{5,27 \cdot 10^8}{\sqrt{1 + 3,098}} \approx \frac{5,27 \cdot 10^8}{\sqrt{4,098}} \approx \frac{5,27 \cdot 10^8}{2,024} \approx 2,6 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: $v \approx 2,6 \cdot 10^8$ м/с.