Номер 1565, страница 287 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$E = 2.0 \cdot 10^7 \frac{В}{м}$

$s = 10 \text{ см}$

$v_0 = 0 \frac{м}{с}$

Константы:

Заряд электрона $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса покоя электрона $m_0 \approx 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3.0 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$

Перевод в систему СИ:
$s = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$v_{ньют}$ - скорость по формулам ньютоновской механики

$v_{рел}$ - скорость по формулам релятивистской механики

Сравнить применимость формул.

Решение:

Работа $A$, совершаемая электростатическим полем над электроном, идет на увеличение его кинетической энергии. $A = eEs$
$A = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 2.0 \cdot 10^7 \frac{В}{м} \cdot 0.1 \text{ м} = 3.2 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Расчет по формулам ньютоновской механики
Согласно теореме о кинетической энергии в классической механике, работа поля равна изменению кинетической энергии электрона:
$A = \Delta K = K - K_0$
Так как начальная скорость $v_0 = 0$, то начальная кинетическая энергия $K_0 = 0$. Кинетическая энергия в ньютоновской механике определяется как $K = \frac{m_0 v^2}{2}$.
Приравниваем работу и кинетическую энергию:
$eEs = \frac{m_0 v_{ньют}^2}{2}$
Отсюда выражаем скорость:
$v_{ньют} = \sqrt{\frac{2eEs}{m_0}}$
Подставляем числовые значения:
$v_{ньют} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3.2 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{6.4 \cdot 10^{-13}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} \approx \sqrt{0.703 \cdot 10^{18}} \approx 8.4 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$
Ответ: Скорость, рассчитанная по формулам ньютоновской механики, составляет $8.4 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$.

Расчет по формулам релятивистской механики
В релятивистской механике теорема о кинетической энергии также справедлива ($A = \Delta K$), но формула для кинетической энергии другая:
$K = (\gamma - 1)m_0 c^2$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ - лоренц-фактор.
Так как $K_0 = 0$, то $A = K$.
$eEs = (\gamma - 1)m_0 c^2$
Выразим лоренц-фактор:
$\gamma = 1 + \frac{eEs}{m_0 c^2}$
Рассчитаем энергию покоя электрона $m_0 c^2$:
$m_0 c^2 = 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3.0 \cdot 10^8 \frac{м}{с})^2 = 8.19 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$
Теперь найдем $\gamma$:
$\gamma = 1 + \frac{3.2 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{8.19 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}} \approx 1 + 3.91 \approx 4.91$
Теперь из формулы для $\gamma$ выразим скорость $v_{рел}$:
$\gamma^2 = \frac{1}{1 - v_{рел}^2/c^2} \implies 1 - \frac{v_{рел}^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2} \implies \frac{v_{рел}^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2}$
$v_{рел} = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$
Подставляем значение $\gamma$:
$v_{рел} = 3.0 \cdot 10^8 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{(4.91)^2}} = 3.0 \cdot 10^8 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{24.1}} \approx 3.0 \cdot 10^8 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{1 - 0.0415} = 3.0 \cdot 10^8 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{0.9585} \approx 3.0 \cdot 10^8 \frac{м}{с} \cdot 0.979 \approx 2.94 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$
Ответ: Скорость, рассчитанная по формулам релятивистской механики, составляет $2.94 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$.

Можно ли в данном случае пользоваться формулами ньютоновской механики?
Расчет по формулам ньютоновской механики дал результат $v_{ньют} \approx 8.4 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$. Это значение превышает скорость света в вакууме ($c \approx 3.0 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$), что является физически невозможным.
Релятивистский расчет дает скорость $v_{рел} \approx 2.94 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$, что составляет примерно $0.98c$. При таких скоростях, близких к скорости света, релятивистские эффекты становятся доминирующими, и классическая механика Ньютона дает совершенно неверные результаты.
Ответ: В данном случае пользоваться формулами ньютоновской механики нельзя, так как они приводят к физически невозможному результату (скорость больше скорости света) и не учитывают релятивистские эффекты, которые при данной энергии электрона являются определяющими.