Номер 1566, страница 287 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Задача решается на основе условий задачи №1565, но для протона.

Частица - протон (p).

Ускоряющая разность потенциалов, $U = 400$ В.

Индукция однородного магнитного поля, $B = 1,5$ мТл.

Заряд протона, $q_p = e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Масса протона, $m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг.

Перевод в систему СИ:

$B = 1,5 \text{ мТл} = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$.

Найти:

а) Скорость протона $v_p$ после прохождения ускоряющей разности потенциалов.

б) Радиус окружности $R_p$, по которой движется протон в магнитном поле.

в) Период обращения протона $T_p$ в магнитном поле.

Решение:

а) Скорость протона

Когда протон проходит ускоряющую разность потенциалов, работа электрического поля $A$ переходит в его кинетическую энергию $E_k$. Согласно теореме о кинетической энергии, и предполагая, что начальная скорость протона равна нулю:

$A = E_k$

$q_p U = \frac{m_p v_p^2}{2}$

Из этого уравнения выражаем скорость протона $v_p$:

$v_p = \sqrt{\frac{2 q_p U}{m_p}}$

Подставляем числовые значения:

$v_p = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 400 \text{ В}}{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}} \approx \sqrt{\frac{1,28 \cdot 10^{-16}}{1,67 \cdot 10^{-27}}} \approx \sqrt{0,766 \cdot 10^{11}} \approx 2,77 \cdot 10^5 \text{ м/с}$.

Ответ: Скорость протона составляет приблизительно $2,77 \cdot 10^5$ м/с.

б) Радиус окружности

При попадании в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции на протон начинает действовать сила Лоренца $F_Л$. Эта сила перпендикулярна скорости и сообщает частице центростремительное ускорение, заставляя ее двигаться по окружности. По второму закону Ньютона:

$F_Л = m_p a_ц$

Сила Лоренца для заряда, движущегося перпендикулярно полю, равна $F_Л = q_p v_p B$, а центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v_p^2}{R_p}$. Тогда:

$q_p v_p B = \frac{m_p v_p^2}{R_p}$

Сократив на $v_p$, выражаем радиус окружности $R_p$:

$R_p = \frac{m_p v_p}{q_p B}$

Подставляем значения:

$R_p = \frac{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot 2,77 \cdot 10^5 \text{ м/с}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = \frac{4,626 \cdot 10^{-22}}{2,4 \cdot 10^{-22}} \approx 1,93 \text{ м}$.

Ответ: Радиус окружности, по которой движется протон, равен приблизительно $1,93$ м.

в) Период обращения

Период обращения $T_p$ — это время одного полного оборота по окружности. Он равен отношению длины окружности $L = 2 \pi R_p$ к скорости движения $v_p$:

$T_p = \frac{2 \pi R_p}{v_p}$

Подставим в эту формулу выражение для радиуса $R_p$, полученное в предыдущем пункте:

$T_p = \frac{2 \pi}{v_p} \cdot \left(\frac{m_p v_p}{q_p B}\right) = \frac{2 \pi m_p}{q_p B}$

Как видно из формулы, период обращения не зависит от скорости частицы (а значит, и от ускоряющего напряжения). Вычислим его значение:

$T_p = \frac{2 \pi \cdot 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = \frac{10,49 \cdot 10^{-27}}{2,4 \cdot 10^{-22}} \approx 4,37 \cdot 10^{-5} \text{ с}$.

Ответ: Период обращения протона равен приблизительно $4,37 \cdot 10^{-5}$ с (или 43,7 мкс).