Номер 1569, страница 287 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Частица - протон

Скорость протона, $v = 0,99c$

Индукция магнитного поля, $B = 1,2$ Тл

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Масса покоя протона, $m_0 \approx 1,672 \cdot 10^{-27}$ кг

Заряд протона, $q = e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в СИ:

$v = 0,99 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 2,97 \cdot 10^8$ м/с

Остальные величины даны в СИ.

Найти:

Радиус окружности, $R$.

Решение:

Поскольку скорость протона очень близка к скорости света ($v = 0,99c$), для решения задачи необходимо использовать законы специальной теории относительности.

На протон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как протон влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, угол $\alpha$ между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$ составляет $90^\circ$.

Величина силы Лоренца в этом случае равна:

$F_Л = qvB\sin(\alpha) = qvB\sin(90^\circ) = qvB$

Эта сила является центростремительной. Она перпендикулярна скорости, поэтому не совершает работы и не изменяет кинетическую энергию и модуль скорости частицы. Сила Лоренца сообщает протону центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$, заставляя его двигаться по окружности радиуса $R$.

Согласно второму закону Ньютона в релятивистской форме, центростремительная сила связана с релятивистской массой $m$ и центростремительным ускорением:

$F_ц = m a_ц = \gamma m_0 \frac{v^2}{R}$

где $m_0$ - масса покоя протона, а $\gamma$ - фактор Лоренца, который рассчитывается по формуле:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Приравняем выражения для силы Лоренца и центростремительной силы:

$qvB = \gamma m_0 \frac{v^2}{R}$

Сократив на $v$, выразим радиус окружности $R$:

$R = \frac{\gamma m_0 v}{qB}$

Сначала вычислим фактор Лоренца $\gamma$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,99c)^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,99^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9801}} = \frac{1}{\sqrt{0,0199}} \approx 7,0888$

Теперь подставим все известные значения в формулу для радиуса и произведем вычисления:

$R = \frac{7,0888 \cdot (1,672 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (2,97 \cdot 10^8 \text{ м/с})}{(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (1,2 \text{ Тл})}$

$R = \frac{(7,0888 \cdot 1,672 \cdot 2,97) \cdot 10^{-19}}{1,92 \cdot 10^{-19}} \text{ м}$

$R \approx \frac{35,20}{1,92} \text{ м} \approx 18,33 \text{ м}$

Ответ: $R \approx 18,33$ м.