Номер 1574, страница 288 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Кинетическая энергия электронов $E_к = 0,67 \text{ МэВ}$.

Для решения также потребуются справочные данные:

Энергия покоя электрона $E_0 = m_0 c^2 \approx 0,511 \text{ МэВ}$.
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.

Перевод в систему СИ:

$E_к = 0,67 \text{ МэВ} = 0,67 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 0,67 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1,073 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

Отношение модуля скорости электронов к модулю скорости света: $\frac{v}{c}$.

Решение:

Поскольку данная кинетическая энергия электрона ($E_к = 0,67 \text{ МэВ}$) сравнима с его энергией покоя ($E_0 \approx 0,511 \text{ МэВ}$), его скорость должна быть близка к скорости света. В таких случаях для расчета необходимо применять формулы специальной теории относительности. Классическая формула кинетической энергии ($E_к = \frac{m_0 v^2}{2}$) здесь неприменима, так как она привела бы к скорости, превышающей скорость света.

Релятивистская кинетическая энергия определяется как разность между полной энергией частицы $E$ и ее энергией покоя $E_0$:

$E_к = E - E_0$

Полная энергия $E$ связана со скоростью частицы $v$ следующим образом:

$E = \gamma m_0 c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Подставим это выражение в формулу для кинетической энергии, заменив $m_0 c^2$ на $E_0$:

$E_к = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - E_0 = E_0 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right)$

Теперь выразим из этого уравнения искомое отношение $\frac{v}{c}$.

Сначала выразим лоренц-фактор $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$:

$\frac{E_к}{E_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1$

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{E_к}{E_0}$

Перевернем дробь и возведем в квадрат:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{1 + \frac{E_к}{E_0}}$

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left( \frac{1}{1 + \frac{E_к}{E_0}} \right)^2$

Выразим $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \left( \frac{1}{1 + \frac{E_к}{E_0}} \right)^2$

И, наконец, извлечем квадратный корень:

$\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{1 + \frac{E_к}{E_0}} \right)^2}$

Подставим числовые значения, используя энергии в МэВ для удобства расчетов:

$\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{1 + \frac{0,67 \text{ МэВ}}{0,511 \text{ МэВ}}} \right)^2} \approx \sqrt{1 - \left( \frac{1}{1 + 1,311} \right)^2} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{2,311} \right)^2}$

$\frac{v}{c} \approx \sqrt{1 - (0,4327)^2} \approx \sqrt{1 - 0,1872} = \sqrt{0,8128} \approx 0,9015$

Округляя до двух значащих цифр, как в условии, получаем, что скорость электронов составляет 0,90 от скорости света.

Ответ: Модуль скорости этих электронов составляет 0,90 от модуля скорости света.