Номер 1577, страница 288 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус дуги окружности, $R = 0,10$ м

Модуль индукции магнитного поля, $B = 10$ Тл

Заряд электрона (по модулю), $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса покоя электрона, $m_e = 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Кинетическую энергию электрона, $E_к$.

Решение:

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца, которая направлена перпендикулярно вектору скорости. Эта сила является центростремительной и заставляет электрон двигаться по окружности. Связь между импульсом частицы $p$, её зарядом $q$, индукцией магнитного поля $B$ и радиусом траектории $R$ определяется уравнением, которое справедливо как в классической, так и в релятивистской механике:

$p = qBR$

Для электрона $q = e$, следовательно, его импульс равен:

$p = eBR = (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (10 \text{ Тл}) \cdot (0.10 \text{ м}) = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Чтобы определить, нужно ли использовать релятивистскую механику, оценим скорость электрона по классической формуле $p = m_e v$:

$v = \frac{p}{m_e} = \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \approx 1.76 \cdot 10^{11} \text{ м/с}$

Полученная скорость значительно превышает скорость света $c$, что физически невозможно. Это означает, что для решения задачи необходимо применять формулы релятивистской динамики.

Связь между полной энергией частицы $E$, её импульсом $p$ и массой покоя $m_e$ выражается формулой:

$E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2$

Кинетическая энергия $E_к$ определяется как разность между полной энергией $E$ и энергией покоя $E_0 = m_e c^2$:

$E_к = E - E_0 = \sqrt{(pc)^2 + (m_e c^2)^2} - m_e c^2$

Вычислим величины, входящие в формулу:

Энергия, соответствующая импульсу:

$pc = (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) = 4.8 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

Энергия покоя электрона:

$m_e c^2 = (9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 8.19 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Теперь подставим вычисленные значения в формулу для кинетической энергии:

$E_к = \sqrt{(4.8 \cdot 10^{-11} \text{ Дж})^2 + (8.19 \cdot 10^{-14} \text{ Дж})^2} - 8.19 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

$E_к = \sqrt{2.304 \cdot 10^{-21} + 6.708 \cdot 10^{-27}} - 8.19 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Поскольку член $(m_e c^2)^2$ на много порядков меньше, чем $(pc)^2$, его вкладом под корнем можно пренебречь. В этом случае полная энергия электрона практически равна его импульсу, умноженному на скорость света ($E \approx pc$).

$E_к \approx pc - m_e c^2 = 4.8 \cdot 10^{-11} \text{ Дж} - 8.19 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} \approx 4.79 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$E_к \approx 4.8 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

Ответ: $E_к \approx 4.8 \cdot 10^{-11}$ Дж.