Номер 1576, страница 288 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Отношение релятивистского импульса к классическому $n = \frac{p_{rel}}{p_{class}} = 3$
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:
$v$ - ?

Решение:
Импульс частицы, определяемый в классической механике, вычисляется по формуле: $p_{class} = m_0 v$, где $m_0$ – масса покоя частицы, а $v$ – ее скорость.

Релятивистский импульс частицы определяется выражением: $p_{rel} = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, где $c$ – скорость света в вакууме.

Согласно условию задачи, релятивистский импульс в $n=3$ раза превышает классический: $p_{rel} = n \cdot p_{class}$

Подставим выражения для импульсов в это соотношение: $\frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = n \cdot m_0 v$

Так как для существования импульса скорость $v$ должна быть отличной от нуля, мы можем сократить обе части уравнения на $m_0 v$: $\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = n$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = n^2$

Теперь выразим из этого уравнения величину $\frac{v^2}{c^2}$: $1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{n^2}$ $\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{n^2}$ $\frac{v^2}{c^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти скорость $v$: $v = \sqrt{c^2 \frac{n^2 - 1}{n^2}} = c \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$

Подставим в полученную формулу заданное значение $n=3$: $v = c \frac{\sqrt{3^2 - 1}}{3} = c \frac{\sqrt{9 - 1}}{3} = c \frac{\sqrt{8}}{3} = c \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Вычислим числовое значение скорости, приняв $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с: $v \approx (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2} \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2 \cdot 1.414 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2.83 \cdot 10^8$ м/с.

Ответ: Модуль скорости частицы равен $v = c \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 2.83 \cdot 10^8$ м/с.