Номер 1567, страница 287 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса частицы: $m$

Заряд частицы: $q$

Индукция однородного магнитного поля: $\vec{B} = \text{const}$

Начальная скорость частицы: $\vec{v}$

Условие: $\vec{v} \perp \vec{B}$

Найти:

Закон движения частицы $\vec{r}(t)$.

Решение:

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца:

$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения частицы имеет вид:

$m\vec{a} = q(\vec{v} \times \vec{B})$, где $\vec{a}$ - ускорение частицы.

Сила Лоренца $\vec{F}$ всегда перпендикулярна вектору скорости $\vec{v}$, так как она является результатом векторного произведения. Из этого следует два важных вывода:

1. Работа силы Лоренца равна нулю: $A = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$. Согласно теореме о кинетической энергии, изменение кинетической энергии частицы также равно нулю ($ \Delta K = A $). Следовательно, кинетическая энергия $K = \frac{mv^2}{2}$ и модуль скорости (скорость) $v = |\vec{v}|$ частицы остаются постоянными.

2. Ускорение $\vec{a}$ всегда перпендикулярно скорости $\vec{v}$. Такое ускорение называется центростремительным, и оно изменяет только направление вектора скорости, но не его модуль.

Поскольку начальная скорость $\vec{v}$ перпендикулярна $\vec{B}$, а сила Лоренца перпендикулярна $\vec{B}$, то компонента скорости в направлении поля отсутствует, и частица движется в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{B}$. Движение с постоянной по модулю скоростью под действием силы, постоянной по величине и всегда перпендикулярной скорости, является движением по окружности.

Величина силы Лоренца в данном случае (угол между $\vec{v}$ и $\vec{B}$ равен $90^\circ$) равна:

$F = |q|vB$

Эта сила играет роль центростремительной силы $F_c = ma_c = m\frac{v^2}{R}$, где $R$ - радиус окружности.

Приравняем величины сил:

$|q|vB = m\frac{v^2}{R}$

Отсюда находим радиус траектории:

$R = \frac{mv}{|q|B}$

Движение является равномерным вращением с угловой скоростью (циклотронной частотой):

$\omega = \frac{v}{R} = \frac{|q|B}{m}$

Период обращения частицы по окружности:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi m}{|q|B}$

Чтобы найти закон движения, то есть зависимость координат от времени $\vec{r}(t)$, введем систему координат. Направим ось $Oz$ вдоль вектора $\vec{B}$, то есть $\vec{B} = (0, 0, B)$. Плоскость движения частицы будет плоскостью $Oxy$. Пусть в начальный момент времени $t=0$ частица находится в начале координат $\vec{r}(0) = (0, 0, 0)$, а ее скорость направлена вдоль оси $Ox$, $\vec{v}(0) = (v, 0, 0)$.

Уравнения движения в проекциях на оси координат, полученные из $m\vec{a} = q(\vec{v} \times \vec{B})$, имеют вид:

$m\ddot{x} = qB\dot{y}$

$m\ddot{y} = -qB\dot{x}$

$m\ddot{z} = 0$

Из третьего уравнения следует, что $z(t) = v_{z0}t + z_0$. Так как $\vec{v} \perp \vec{B}$, то $v_{z0} = 0$, и мы выбрали $z_0 = 0$, поэтому $z(t) = 0$ на все время движения.

Обозначим $\omega_s = \frac{qB}{m}$ (знаковая угловая частота). Система уравнений для плоскости $Oxy$ примет вид:

$\ddot{x} = \omega_s \dot{y}$

$\ddot{y} = -\omega_s \dot{x}$

Решением этой системы дифференциальных уравнений с начальными условиями $x(0)=0, y(0)=0, \dot{x}(0)=v, \dot{y}(0)=0$ являются функции:

$x(t) = \frac{v}{\omega_s} \sin(\omega_s t)$

$y(t) = \frac{v}{\omega_s} (\cos(\omega_s t) - 1)$

Подставляя $\omega_s = \frac{qB}{m}$, получаем закон движения в координатной форме:

$x(t) = \frac{mv}{qB} \sin\left(\frac{qB}{m}t\right)$

$y(t) = \frac{mv}{qB} \left(\cos\left(\frac{qB}{m}t\right) - 1\right)$

$z(t) = 0$

Эти уравнения описывают движение по окружности радиусом $R = |\frac{mv}{qB}| = \frac{mv}{|q|B}$ с центром в точке $(0, \frac{mv}{qB}(\cos(0)-1), 0) = (0, -\frac{mv}{qB}, 0)$.

Ответ:

Закон движения частицы — это равномерное движение по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции $\vec{B}$.
Радиус окружности: $R = \frac{mv}{|q|B}$.
Период обращения: $T = \frac{2\pi m}{|q|B}$.
В системе координат, где ось $Oz$ направлена по $\vec{B}$, а в момент $t=0$ частица находится в начале координат и имеет скорость $\vec{v}=(v, 0, 0)$, закон движения описывается уравнениями:
$x(t) = \frac{mv}{qB} \sin\left(\frac{qB}{m}t\right)$
$y(t) = \frac{mv}{qB} \left(\cos\left(\frac{qB}{m}t\right) - 1\right)$
$z(t) = 0$