Номер 1560, страница 286 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Частица - электрон

Модуль скорости электрона: $v = 95\% \text{ от } c = 0.95c$

Заряд электрона: $e \approx 1.602 \times 10^{-19}$ Кл

Масса покоя электрона: $m_0 \approx 9.109 \times 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \times 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

Все величины, кроме скорости, уже представлены в системе СИ.

$v = 0.95 \times 3 \times 10^8 \text{ м/с} = 2.85 \times 10^8$ м/с.

Найти:

Ускоряющую разность потенциалов $U$.

Решение:

Когда электрон проходит ускоряющую разность потенциалов $U$, электрическое поле совершает над ним работу $A$, которая полностью переходит в его кинетическую энергию $K$.

Работа электрического поля определяется как $A = eU$.

Поскольку скорость электрона является релятивистской (сравнима со скоростью света), для вычисления кинетической энергии необходимо использовать формулу из специальной теории относительности:

$K = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0c^2$

Здесь $E_0 = m_0c^2$ — энергия покоя электрона, $E$ — полная энергия, а $\gamma$ — лоренц-фактор, который вычисляется по формуле:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Приравниваем работу и кинетическую энергию:

$eU = (\gamma - 1)m_0c^2$

Отсюда выражаем искомую разность потенциалов $U$:

$U = \frac{(\gamma - 1)m_0c^2}{e}$

Сначала вычислим значение лоренц-фактора $\gamma$. Из условия задачи известно, что $v = 0.95c$, следовательно, отношение $\frac{v}{c} = 0.95$.

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.95)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9025}} = \frac{1}{\sqrt{0.0975}} \approx \frac{1}{0.31225} \approx 3.2026$

Теперь подставим все известные значения в формулу для $U$:

$U = \frac{(3.2026 - 1) \times (9.109 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (3 \times 10^8 \text{ м/с})^2}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}}$

$U = \frac{2.2026 \times (9.109 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (9 \times 10^{16} \text{ м}^2/\text{с}^2)}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}}$

$U = \frac{2.2026 \times 8.1981 \times 10^{-14} \text{ Дж}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}}$

$U \approx \frac{1.8057 \times 10^{-13} \text{ Дж}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 1.127 \times 10^6 \text{ В}$

Полученное значение удобно выразить в мегавольтах (1 МВ = $10^6$ В):

$U \approx 1.13$ МВ.

Ответ: $U \approx 1.13$ МВ.