Номер 1557, страница 286 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Расстояние между пунктами А и B в инерциальной системе отсчета (ИСО): $l_0$

Скорость первого космического корабля: $v_1 = v$

Скорость второго космического корабля: $v_2 = 2v$

Корабли стартуют одновременно в ИСО.

Найти:

Показания часов на кораблях $t_{01}$ и $t_{02}$ в момент их встречи.

Решение:

Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета (ИСО), в которой пункты А и B покоятся. Пусть в момент старта ($t=0$) корабль 1 находится в точке А с координатой $x_1(0) = 0$, а корабль 2 — в точке B с координатой $x_2(0) = l_0$. Корабли движутся навстречу друг другу.

Уравнение движения первого корабля имеет вид:

$x_1(t) = v \cdot t$

Уравнение движения второго корабля, движущегося в противоположном направлении, имеет вид:

$x_2(t) = l_0 - 2v \cdot t$

Корабли встретятся, когда их координаты совпадут, то есть $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$. Найдем время встречи $t_{встр}$ в ИСО:

$v \cdot t_{встр} = l_0 - 2v \cdot t_{встр}$

$v \cdot t_{встр} + 2v \cdot t_{встр} = l_0$

$3v \cdot t_{встр} = l_0$

$t_{встр} = \frac{l_0}{3v}$

Это время, прошедшее в ИСО с момента старта до момента встречи.

Теперь определим показания часов на каждом корабле. Согласно специальной теории относительности, время, измеренное в движущейся системе отсчета (собственное время, $\tau$), связано со временем, измеренным в неподвижной системе отсчета ($t$), соотношением замедления времени:

$\tau = t \sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}$

где $V$ — скорость движущейся системы, $c$ — скорость света в вакууме.

Для первого корабля, движущегося со скоростью $v$, показания его часов $t_{01}$ в момент встречи будут:

$t_{01} = t_{встр} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{l_0}{3v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Для второго корабля, движущегося со скоростью $2v$, показания его часов $t_{02}$ в момент встречи будут:

$t_{02} = t_{встр} \sqrt{1 - \frac{(2v)^2}{c^2}} = \frac{l_0}{3v} \sqrt{1 - \frac{4v^2}{c^2}}$

Ответ: Показания часов на первом корабле в момент встречи будут $t_{01} = \frac{l_0}{3v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$, а на втором корабле — $t_{02} = \frac{l_0}{3v} \sqrt{1 - \frac{4v^2}{c^2}}$.