Номер 1555, страница 286 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Скорость мезона, $v = 0,99c$

Пройденное расстояние, $s = 4,7 \text{ км}$

Перевод в СИ:

$s = 4,7 \cdot 10^3 \text{ м}$

Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Собственное время жизни мезона, $\tau_0$ - ?

Расстояние без релятивистского эффекта, $s'$ - ?

Решение:

Определите собственное время $\tau_0$ жизни мезона.

Время жизни мезона в системе отсчета, связанной с Землей (обозначим его $\tau$), можно найти из классической формулы пути:

$\tau = \frac{s}{v}$

Это время, измеренное наблюдателем на Земле, является релятивистски замедленным по сравнению с собственным временем жизни мезона $\tau_0$ (временем, которое измерили бы часы, движущиеся вместе с мезоном). Связь между этими временами описывается формулой замедления времени из специальной теории относительности:

$\tau = \frac{\tau_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Приравняв оба выражения для $\tau$, мы можем выразить собственное время жизни $\tau_0$:

$\frac{s}{v} = \frac{\tau_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

$\tau_0 = \frac{s}{v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Подставим известные значения для расчета:

$\tau_0 = \frac{4,7 \cdot 10^3 \text{ м}}{0,99 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \sqrt{1 - (0,99)^2} = \frac{4,7 \cdot 10^3}{2,97 \cdot 10^8} \sqrt{1 - 0,9801}$

$\tau_0 \approx (1,582 \cdot 10^{-5} \text{ с}) \cdot \sqrt{0,0199} \approx (1,582 \cdot 10^{-5} \text{ с}) \cdot 0,141 \approx 2,23 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем $2,2 \cdot 10^{-6} \text{ с}$ или $2,2 \text{ мкс}$.

Ответ: $\tau_0 \approx 2,2 \text{ мкс}$.

Какое расстояние $s'$ пролетел бы мезон в системе отсчета, связанной с Землей, если бы релятивистский эффект относительности промежутка времени не имел места?

Если бы релятивистский эффект замедления времени отсутствовал, то время жизни мезона в системе отсчета Земли было бы равно его собственному времени жизни $\tau_0$.

Тогда расстояние $s'$, которое мезон пролетел бы за это время, можно вычислить по формуле:

$s' = v \cdot \tau_0$

Используем значение $\tau_0 \approx 2,23 \cdot 10^{-6} \text{ с}$ (до окончательного округления для большей точности):

$s' = (0,99 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (2,23 \cdot 10^{-6} \text{ с}) \approx 662 \text{ м}$

Также можно получить этот результат, используя формулу, связывающую $s'$ и $s$:

$s' = v \cdot \tau_0 = v \cdot \left(\frac{s}{v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right) = s \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

$s' = (4,7 \cdot 10^3 \text{ м}) \cdot \sqrt{1 - 0,99^2} \approx 4,7 \cdot 10^3 \cdot 0,141 \approx 663 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $660 \text{ м}$.

Ответ: $s' \approx 660 \text{ м}$.