Номер 1554, страница 285 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Собственное время жизни частицы $t_0 = 10 \text{ нс} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ с}$

Время жизни частицы в лабораторной системе отсчета $\tau = 20 \text{ нс} = 20 \cdot 10^{-9} \text{ с}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

$s$ - ?

Решение:

Связь между собственным временем жизни частицы $t_0$ и временем жизни $\tau$ в лабораторной системе отсчета (ЛСО), движущейся относительно частицы со скоростью $v$, дается формулой замедления времени из специальной теории относительности:

$\tau = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Из этой формулы мы можем выразить скорость частицы $v$ в ЛСО.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\tau^2 = \frac{t_0^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{t_0^2}{\tau^2}$

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{t_0^2}{\tau^2}$

$v^2 = c^2 \cdot (1 - \frac{t_0^2}{\tau^2})$

$v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{t_0^2}{\tau^2}}$

Путь $s$, который пролетит частица в ЛСО до распада, равен произведению ее скорости $v$ на время жизни $\tau$ в этой системе отсчета:

$s = v \cdot \tau$

Подставим выражение для скорости $v$ в формулу для пути:

$s = c \cdot \sqrt{1 - \frac{t_0^2}{\tau^2}} \cdot \tau = c \cdot \sqrt{(1 - \frac{t_0^2}{\tau^2}) \cdot \tau^2} = c \cdot \sqrt{\tau^2 - t_0^2}$

Теперь подставим числовые значения:

$s = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{(20 \cdot 10^{-9} \text{ с})^2 - (10 \cdot 10^{-9} \text{ с})^2} = 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{400 \cdot 10^{-18} - 100 \cdot 10^{-18}} \text{ м}$

$s = 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{300 \cdot 10^{-18}} = 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{3 \cdot 100} \cdot 10^{-9} \text{ м}$

$s = 3 \cdot 10^8 \cdot 10\sqrt{3} \cdot 10^{-9} = 3 \cdot 10^{-1} \cdot 10\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ м}$

Вычислим приближенное значение, учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$s \approx 3 \cdot 1.732 \approx 5.196 \text{ м}$

Округлим до одного знака после запятой.

$s \approx 5.2 \text{ м}$

Ответ: путь, который пролетит частица до распада, равен $s = 3\sqrt{3} \approx 5.2 \text{ м}$.