Номер 1547, страница 284 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

а) Дано:

$k = 2,00$

$c = 3,00 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Релятивистское сокращение длины (сокращение Лоренца) описывается формулой:

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$,

где $L_0$ — собственная длина тела (длина в системе отсчета, в которой тело покоится), $L$ — длина движущегося тела, $v$ — скорость тела, $c$ — скорость света в вакууме.

По условию задачи, продольные размеры тела уменьшились в $k$ раз, то есть:

$L = \frac{L_0}{k}$

Подставим это соотношение в формулу сокращения длины:

$\frac{L_0}{k} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Разделим обе части уравнения на $L_0$:

$\frac{1}{k} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\frac{1}{k^2} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{k^2}$

$v^2 = c^2 \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)$

$v = c \sqrt{1 - \frac{1}{k^2}}$

Подставим числовое значение $k=2,00$:

$v = c \sqrt{1 - \frac{1}{2,00^2}} = c \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = c \sqrt{\frac{3}{4}} = c \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычислим значение скорости:

$v \approx c \cdot \frac{1,732}{2} \approx 0,866c$

$v \approx 0,866 \cdot 3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2,60 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: $v \approx 2,60 \cdot 10^8$ м/с.

б) Дано:

$k = 25,0 \% = 0,250$

$c = 3,00 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$v$ - ?

Решение:

В этом случае под $k$ понимается относительное сокращение длины, то есть процент, на который уменьшилась длина:

$k = \frac{L_0 - L}{L_0} = 1 - \frac{L}{L_0}$

Отсюда можно выразить отношение длин $L/L_0$:

$\frac{L}{L_0} = 1 - k$

Из формулы релятивистского сокращения длины $L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ следует:

$\frac{L}{L_0} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Приравняем два выражения для $L/L_0$:

$1 - k = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Возведем обе части в квадрат:

$(1 - k)^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

Выразим скорость $v$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - (1 - k)^2$

$v = c \sqrt{1 - (1 - k)^2}$

Подставим числовое значение $k=0,250$:

$v = c \sqrt{1 - (1 - 0,250)^2} = c \sqrt{1 - 0,750^2} = c \sqrt{1 - 0,5625} = c \sqrt{0,4375}$

Вычислим значение скорости:

$v \approx c \cdot 0,6614 \approx 0,661c$

$v \approx 0,661 \cdot 3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 1,98 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: $v \approx 1,98 \cdot 10^8$ м/с.