Номер 1568, страница 287 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Модуль индукции магнитного поля $B = 0,030$ Тл

Радиус окружности $R = 10$ см

Частица - электрон. Справочные данные:

Элементарный заряд $|e| = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса покоя электрона $m_0 = 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$R = 10 \text{ см} = 0,10 \text{ м}$

Найти:

Модуль скорости электрона $v$ - ?

Решение:

Поскольку электрон является релятивистским, для решения задачи необходимо использовать формулы специальной теории относительности. На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как траектория движения — окружность, вектор скорости электрона перпендикулярен вектору магнитной индукции. В этом случае сила Лоренца является центростремительной силой и ее модуль равен:

$F_Л = |e|vB$

Согласно второму закону Ньютона в релятивистской форме, сила равна скорости изменения импульса. Для движения по окружности это соотношение имеет вид:

$F_ц = \frac{p v}{R}$

где $p$ — релятивистский импульс электрона.

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем:

$|e|vB = \frac{pv}{R}$

Отсюда можно выразить релятивистский импульс электрона:

$p = |e|BR$

С другой стороны, релятивистский импульс связан со скоростью частицы $v$ и ее массой покоя $m_0$ следующим образом:

$p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Приравняем два полученных выражения для импульса:

$\frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = |e|BR$

Для нахождения скорости $v$ решим это уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$\frac{m_0^2 v^2}{1 - v^2/c^2} = (|e|BR)^2$

Преобразуем уравнение:

$m_0^2 v^2 = (|e|BR)^2 (1 - \frac{v^2}{c^2})$

$m_0^2 v^2 = (|e|BR)^2 - \frac{(|e|BR)^2 v^2}{c^2}$

Соберем все члены, содержащие $v^2$, в левой части:

$v^2 (m_0^2 + \frac{(|e|BR)^2}{c^2}) = (|e|BR)^2$

Отсюда выражаем $v^2$:

$v^2 = \frac{(|e|BR)^2}{m_0^2 + (|e|BR)^2/c^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для скорости:

$v = \frac{|e|BR}{\sqrt{m_0^2 + (|e|BR/c)^2}}$

Для удобства вычислений можно преобразовать формулу к виду:

$v = \frac{|e|BRc}{\sqrt{(m_0c)^2 + (|e|BR)^2}}$

Подставим числовые значения в формулу.

Сначала рассчитаем величину релятивистского импульса $p = |e|BR$:

$p = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0,030 \text{ Тл} \cdot 0,10 \text{ м} = 4,8 \cdot 10^{-22} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Рассчитаем произведение массы покоя на скорость света $m_0c$:

$m_0c = 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2,73 \cdot 10^{-22} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Теперь подставим эти значения в формулу для скорости:

$v = \frac{4,8 \cdot 10^{-22} \cdot 3 \cdot 10^8}{\sqrt{(2,73 \cdot 10^{-22})^2 + (4,8 \cdot 10^{-22})^2}} = \frac{1,44 \cdot 10^{-13}}{\sqrt{7,45 \cdot 10^{-44} + 23,04 \cdot 10^{-44}}} \text{ м/с}$

$v = \frac{1,44 \cdot 10^{-13}}{\sqrt{30,49 \cdot 10^{-44}}} = \frac{1,44 \cdot 10^{-13}}{5,52 \cdot 10^{-22}} \approx 0,261 \cdot 10^9 \text{ м/с}$

$v \approx 2,61 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Входные данные ($B$ и $R$) даны с двумя значащими цифрами, поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр.

Ответ: $v \approx 2,6 \cdot 10^8$ м/с.