Номер 1596, страница 292 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Красная граница фотоэффекта, $λ_{кр} = 276$ нм = $276 \cdot 10^{-9}$ м

Длина волны падающего излучения, $λ = 180$ нм = $180 \cdot 10^{-9}$ м

Постоянная Планка, $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Найти:

1. Работу выхода электрона, $A_B$

2. Модуль максимальной скорости электрона, $v_{max}$

Решение:

Определение работы выхода $A_B$ электрона из металла

Работа выхода электрона $A_B$ связана с красной границей фотоэффекта $λ_{кр}$ (максимальной длиной волны, при которой еще возможен фотоэффект) следующим соотношением:

$A_B = h \cdot \nu_{кр}$

где $\nu_{кр}$ — пороговая частота излучения. Частота и длина волны связаны формулой $c = \lambda \cdot \nu$, откуда $\nu_{кр} = \frac{c}{λ_{кр}}$.

Подставим это в формулу для работы выхода:

$A_B = \frac{h \cdot c}{λ_{кр}}$

Подставим числовые значения:

$A_B = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{276 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = \frac{19.89 \cdot 10^{-26}}{276 \cdot 10^{-9}}$ Дж $\approx 0.072065 \cdot 10^{-17}$ Дж $\approx 7.21 \cdot 10^{-19}$ Дж.

Ответ: $A_B \approx 7.21 \cdot 10^{-19}$ Дж.

Определение модуля максимальной скорости $v_{max}$ электрона

Для нахождения максимальной скорости электронов воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_ф = A_B + E_{к, max}$

где $E_ф$ — энергия падающего фотона, $A_B$ — работа выхода, $E_{к, max}$ — максимальная кинетическая энергия вырванного электрона.

Энергия фотона вычисляется по формуле $E_ф = \frac{h \cdot c}{\lambda}$, а максимальная кинетическая энергия электрона — $E_{к, max} = \frac{m_e \cdot v_{max}^2}{2}$.

Подставим эти выражения в уравнение Эйнштейна:

$\frac{h \cdot c}{\lambda} = A_B + \frac{m_e \cdot v_{max}^2}{2}$

Выразим максимальную кинетическую энергию, используя выражение для работы выхода $A_B = \frac{h \cdot c}{λ_{кр}}$:

$\frac{m_e \cdot v_{max}^2}{2} = \frac{h \cdot c}{\lambda} - \frac{h \cdot c}{λ_{кр}} = h \cdot c \cdot \left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{λ_{кр}}\right)$

Отсюда выразим $v_{max}$:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot h \cdot c}{m_e} \cdot \left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{λ_{кр}}\right)}$

Подставим числовые значения:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6.63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{9.11 \cdot 10^{-31}} \cdot \left(\frac{1}{180 \cdot 10^{-9}} - \frac{1}{276 \cdot 10^{-9}}\right)}$

$v_{max} = \sqrt{\frac{39.78 \cdot 10^{-26}}{9.11 \cdot 10^{-31}} \cdot \frac{1}{10^{-9}} \cdot \left(\frac{1}{180} - \frac{1}{276}\right)}$

$v_{max} = \sqrt{4.3666 \cdot 10^5 \cdot 10^9 \cdot \left(\frac{276 - 180}{180 \cdot 276}\right)} = \sqrt{4.3666 \cdot 10^{14} \cdot \frac{96}{49680}}$

$v_{max} = \sqrt{4.3666 \cdot 10^{14} \cdot 0.00193236} = \sqrt{8.438 \cdot 10^{11}}$ м/с

$v_{max} \approx 9.186 \cdot 10^5$ м/с.

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

$v_{max} \approx 9.19 \cdot 10^5$ м/с.

Ответ: $v_{max} \approx 9.19 \cdot 10^5$ м/с.